"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 404, стр. 18-60
Точные оценки наилучших приближений через голоморфные функции от
операторов типа Вейерштрасса
О. Л. Виногpадов
С.-Петербургский
государственный университет,
Университетский пр. 28,
Петродворец, 198504 Санкт-Петербург, Россия
olvin@math.spbu.ru
- Аннотация: В работе для широкого класса функциональных пространств
получены оценки наилучших приближений функций целыми функциями
конечной степени через значения операторов, описанных в названии.
Приведем пример полученных результатов.
Пусть
$\lambda,\sigma,q>0$,
$$W_{\lambda}(t)=\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{\lambda}}\,
e^{-\frac{t^2}{4\lambda}},
$$
$${\mathcal W}_{\lambda}f(x)=
\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb R}f(x-t)W_{\lambda}(t)\,dt$$ --
интеграл Вейерштрасса функции~$f$,
$I$~--- тождественный оператор,
$\varphi={(I-{\mathcal W}_{\lambda})}^qf$.
Построен оператор свертки~$Y_{\sigma}$
со значениями в множестве целых функций
степени не выше~$\sigma$
такой, что для любых
$p\in[1,+\infty]$ и $f\in L_p(\mathbb R)$
$$P\bigl(f-Y_{\sigma}f\bigr)\lle
\Biggl(1+\frac4{\pi}\suml_{s=0}^{\infty}\frac{(-1)^{s}}{2s+1}
\frac{1-{\bigl(1-e^{-\lambda((2s+1)\sigma)^2}\bigr)}^q}
{{\bigl(1-e^{-\lambda((2s+1)\sigma)^2}\bigr)}^q}\Biggr)
P(\varphi).$$
При $p=1,\infty$ константа точная, даже если заменить
левую часть на наилучшее приближение.
Также установлены точные оценки наилучших приближений через
степени отклонений интегралов Пуассона и Стеклова, в том числе,
в пространствах периодических функций.
Некоторые оценки усилены в терминах, содержащих конечные
разности.
Библ. -- 13 назв.
- Ключевые слова: наилучшее приближение, точные константы, свертка, вполне монотонные функции
[best approximation, sharp constants, convolution,
completely monotone functions]
Полный текст(.pdf)