"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 401, стр. 53-70
Точные оценки наилучших приближений
через отклонения интегралов типа Вейерштрасса
О. Л. Виноградов
С.-Петербургский
государственный университет,
Университетский пр. 28,
Петродворец, 198504 Санкт-Петербург, Россия
olvin@math.spbu.ru
- Аннотация:
В работе для широкого класса функциональных пространств получены
оценки наилучшего приближения функции $f$ целыми функциями
экспоненциального типа $\sigma$ через отклонение функции $f$ от своей
свертки с фиксированной суммируемой функцией $W$.
Пусть
$c(W,y)=\frac1{2\pi}\int_{\Bbb R}W(t)e^{-iyt}\,dt$;
$\widehat{CM}^2_c(y_0)$~--- класс четных функций
$W\in L_1(\Bbb R)$, таких что
при всех $y\geq y_0$ справедливо представление
$$
c(W,y)=\int_{0}^{+\infty}e^{-y^2u}\,d\Phi(u),
$$
где функция $\Phi$ возрастает на $(0,+\infty)$;
свертка задается равенством
$f*W(x)=\frac1{2\pi}\int_{\Bbb R}f(x-t)W(t)\,dt$.
Основной результат работы состоит в следующем.
Пусть $p\in[1,+\infty]$, $y_0>0$,
$W\in\widehat{CM}^2_c(y_0)$,
$c(W,y)<1$ при всех $y\geq y_0$,
$c(W)\in C^{(2)}\bigl({\Bbb R}\setminus(-y_0,y_0)\bigr)$,
$\sigma\geq y_0$.
Построен оператор свертки
$Y_{\sigma,W}$
со значениями в множестве целых функций
степени не выше~$\sigma$,
такой что
для любой функции $f\in L_p(\Bbb R)$ справедливо неравенство
$$\|f-Y_{\sigma,W}f\|_p\leqslant
\biggl(1+\frac{4}{\pi}
\sum_{\nu=0}^{\infty}\frac{(-1)^{\nu}}{2\nu+1}\,
\frac{c(W,(2\nu+1)\sigma)}{1-c(W,(2\nu+1)\sigma)}\biggr)
\|f-f*W\|_p.$$
При $p=1,\infty$ константа точная, даже если заменить
левую часть на наилучшее приближение.
Частными случаями полученных результатов
являются оценки наилучших приближений через
отклонения интегралов Пуассона и Вейерштрасса, а также
оценки в пространствах периодических функций.
Получены также усиления оценок в терминах, содержащих конечные
разности.
Библ. -- 7 назв.
- Ключевые слова: наилучшее приближение,
точные константы, свертка, вполне монотонные функции
[best approximation, sharp constants, convolution,
completely monotone functions]
Полный текст(.pdf)