"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 392, стр. 95-145
Перекладывающиеся торические развертки и множества ограниченного остатка
В. Г. Журавлев
Владимирский государственный
гуманитарный университет,
пр. Строителей 11, Владимир 600024, Россия
vzhuravlev@mail.ru
- Аннотация:
С помощью перекладывающихся торических разверток
$$
T^D= T_0^D
\sqcup T_1^D \sqcup
\ldots \sqcup T_D^D \subset
\mathbb{R}^D$$ находятся разбиения торов
$\mathbb{T}^D=\mathbb{T}^D_0 \sqcup \mathbb{T}^D_1 \sqcup \ldots
\sqcup \mathbb{T}^D_D$
на множества $\mathbb{T}^D_k$ ограниченного
остатка. Указанные развертки и тор $\mathbb{T}^D\simeq
\mathbb{R}^D/L$ связаны условием: перекладыванию развертки $T^D$
соответствует сдвиг $S_{\alpha}(x)\equiv x + \alpha \;
\mathrm{mod}\; L$ тора
на некоторый иррациональный вектор $\alpha$.
Для построения разверток $T^D$ применяются два специальных метода
вытягивания единичных кубов $C^D=[0,1]^D$ и один общий метод
умножения $T^{D_1} \otimes_k T^{D_2}$ произвольных разверток
$T^{D_1}$ и $T^{D_2}$. Если векторы $\alpha$, $\beta$ сдвигов тора
$S_{\alpha}$ и $S_{\beta}$ связаны
условием $\alpha \equiv n \beta \, \texttt{mod}\, L$, $n$ --
любое натуральное число, то
для отклонений $\delta_{k}(i)=r_{k}(i) -i a_k$, где $r_{k}(i)$ и $a_k=\mathrm{vol}\, \mathbb{T}^D_k/
\mathrm{vol}\, \mathbb{T}^D$ --
соответственно количество и частота попаданий за $i$ шагов точек
$S_{\beta}$-орбиты в область $\mathbb{T}_k^D \subset
\mathbb{T}^D$, доказана многомерная теорема Гекке об
ограниченности отклонений
$$
\begin{array}{lcl}
|\delta_{k}(i)| \leq c_k(T^D) \, n& \mbox{при} & i=0,1,2,\ldots,
\end{array}
$$
и для констант $c_k(T^D)$ найдены точные значения в терминах
разверток $T^D$. Библ. -- 7 назв.
- Ключевые слова: теорема Гекке, распределение дробных долей, множества ограниченного остатка на торе
[the Hecke theorem, distribution of fraction parts, toric development]
Полный текст(.pdf)