"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 389, стр. 21-33
Обобщение одной теоремы Харди--Литтлвуда
С. В. Быков
Брянский\newline
государственный университет
им. акад. И. Г. Петровского,
241036 Брянск, ул. Бежицкая, д. 14
b_serecha@mail.ru
- Аннотация:В статье получено следующее обобщение хорошо известной теоремы
Харди--Литтлвуда: Пусть $f$ -- аналитическая функция в
единичном круге. Положим
$$M_{p}(r,f)=(\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi|f(re^{i\theta})|^{p}d\theta)^{\frac{1}{p}} $$
и пусть $M_{p}(r,f)= O(\varphi(r)), r\rightarrow 1-0$, где $\varphi $ --
монотонно возрастающая функция на $(0,1)$ и $$ \alpha_{\varphi} =
\mathop {\lim }\limits_{r \rightarrow1-0 } \frac{{\varphi ' \left(
r \right)(1-r)}}{{\varphi \left( r \right)}}.$$
Тогда
1) если $0\leq \alpha_{\varphi} <+\infty$, то
$M_{p}(r,f')=O( \frac{\varphi(r)}{1-r}), r\rightarrow 1-0;$
2) если $\alpha_{\varphi} =+\infty$, то
$M_{p}(r,f')=O(\varphi'(r)), r\rightarrow 1-0.$
Библ. -- 4 назв.
- Ключевые слова: аналитическая функция, единичный круг, теорема Харди--Литтлвуда
[holomorphic function, unit disk, Hardy--Littlewood theorem]
Полный текст(.pdf)