"Записки научных семинаров ПОМИ"

Том 389, стр. 21-33

Брянский\newline государственный университет им. акад. И. Г. Петровского, 241036 Брянск, ул. Бежицкая, д. 14

b_serecha@mail.ru

Аннотация:В статье получено следующее обобщение хорошо известной теоремы Харди--Литтлвуда: Пусть $f$ -- аналитическая функция в единичном круге. Положим $$M_{p}(r,f)=(\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi|f(re^{i\theta})|^{p}d\theta)^{\frac{1}{p}} $$ и пусть $M_{p}(r,f)= O(\varphi(r)), r\rightarrow 1-0$, где $\varphi $ -- монотонно возрастающая функция на $(0,1)$ и $$ \alpha_{\varphi} = \mathop {\lim }\limits_{r \rightarrow1-0 } \frac{{\varphi ' \left( r \right)(1-r)}}{{\varphi \left( r \right)}}.$$ Тогда 1) если $0\leq \alpha_{\varphi} <+\infty$, то $M_{p}(r,f')=O( \frac{\varphi(r)}{1-r}), r\rightarrow 1-0;$ 2) если $\alpha_{\varphi} =+\infty$, то $M_{p}(r,f')=O(\varphi'(r)), r\rightarrow 1-0.$ Библ. -- 4 назв.
Ключевые слова: аналитическая функция, единичный круг, теорема Харди--Литтлвуда [holomorphic function, unit disk, Hardy--Littlewood theorem]