"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 384, стр. 105-153
Равномерные оценки точности аппроксимации короткими асимптотическими разложениями
в центральной предельной теореме для квадратичных форм
Ф. Гётце, А. Ю. Зайцев
Fakult\"at f\"ur Mathematik,
Universit\"at Bielefeld, Postfach 100131, D-33501
Bielefeld, Germany
goetze@math.uni-bielefeld.de
С.-Петербургское отделение
Математического института
им. В. А. Стеклова РАН,
Фонтанка 27,
191023 Санкт-Петербург, Россия
zaitsev@pdmi.ras.ru
- Аннотация:Пусть $X, X_1, X_2, \dots $ -- последовательность независимых
одинаково распределенных $\Bbb R^d$-значных случайных
векторов. Предположим, что ${\bold E}\, X=0\,$ и распределение вектора $X\, $
не вырождено. Пусть $G\,$ -- гауссовский случайный вектор с
нулевым средним и такой, что его ковариационный оператор такой же как у $ X$.
Мы исследуем распределения невырожденных квадратичных форм
$ \Bbb Q [S_N ] $ от нормированных сумм
${S_N=N^{-1/2}\, (X_1+\dots +X_N)}\, $ и показываем, что
без дополнительных предположений $$\Delta_N^{(a)}\= \sup_x\, \bigl|\,{\bold P}\bigl\{ \Bbb Q \4[S_N-a ]\le x\bigr\}-
{\bold P}\bigl\{ \Bbb Q \4[G-a ]\le x\bgr\}-E_a(x)\bigr| = {\Cal
O}\bigl(N^{-1}\bigr) $$ при всех $a\in{\Bbb R}^d$,
если $d\ge 5\, $ и если
${\bold E}\, \left\|X\right\|^4<\infty$. Здесь $E_a(x)$ -- поправка Эджворта порядка ${\Cal O}\bigl(N^{-1/2}\bigr)$.
Кроме того, доказаны явные оценки порядка ${\Cal O}\bgl(N^{-1}\bgr)$ для
$\Delta_N^{(a)}$ и для функции концентрации случайной величины
$\Bbb Q [S_N+a ]$, $a\in{\Bbb R}^d$. Результаты переносят соответствующие результаты из работы Бенткуса и Гётце (1997) ($d\ge9$) на случай $d\ge5$.
Библ. -- 35 назв.
- Ключевые слова: центральная предельная теорема, квадратичные формы,
скорость сходимости, функции концентрации
[сentral Limit Theorem, quadratic forms, concentration inequalities, convergence rates]
Полный текст(.pdf)