"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 383, стр. 33-52
Скорость убывания констант в неравенствах типа
Джексона в зависимости от порядка модуля непрерывности
О. Л. Виноградов, В. В. Жук
С.-Петербургский государственный
университет, Университетский пр. 28,
Петродворец, 198504\newline Санкт-Петербург, Россия
olvin@math.spbu.ru
zhuk@math.spbu.ru
- Аннотация: Пусть ${\bold E}_{\sigma}$ -- множество целых функций
степени не выше~$\sigma$,
$\delta^m_h(f)$ -- центральная разность,
$\omega_m(f,h)_P$ -- модуль непрерывности порядка~$m$
в $L_p(\Bbb R)$,
$W_{h,2r}(f)=\frac{(-1)^r}{C_{2r}^{r}h}
\int\limits_{-h}^{h}\delta_t^{2r}(f)\Bigl(1-\frac{|t|}{h}\Bigr)\,dt$,
$\mu_{2r}=\biggl(\frac{8}{\pi^2}
\sum\limits_{{1\leqslant j\leqslant r}\atop{j\text{ нечетно}}}
\frac{C_{2r}^{r+j}}{C_{2r}^{r}}\frac1{j^2}\biggr)^{1/2}$.
Для $p\in[1,+\infty]$, $r\in\Bbb N$, $\si>0$, $\al>\mu_{2r}$,
$h=\frac{\al\pi}\si$ построен оператор свертки $Q_{\si,h,2r}:L_p(\Bbb R)\to\bold E_\si$,
такой что для любой $f\in L_p(\Bbb R)$
$$
\align
\|f-Q_{\sigma,h,2r}(f)\|_p&\lle
\left(\cos\frac{\pi\mu_{2r}}{2\alpha}\right)^{-1}
\|W_{h,2r}(f)\|_p,\\
\|f-Q_{\sigma,h,2r}(f)\|_p&\lle
\left(\cos\frac{\pi\mu_{2r}}{2\alpha}\right)^{-1}
\frac{1}{C_{2r}^r}\,\omega_{2r}(f,h)_{p}.
\endalign
$$
При $p=1,\infty$, $\al=1$ константы в первом неравенстве
нельзя уменьшить, даже если
заменить левую часть на наилучшее приближение
и ограничиться функциями, ортогональными~${\bold E}_{\sigma}$.
Как частными случаи получаются
являются оценки приближений периодических функций.
Библ. -- 19 назв.
- Ключевые слова: наилучшее приближение, модуль непрерывности,
точные константы
[best approximation, modulus of continuity, sharp
constants]
Полный текст(.pdf)