"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 377, стр. 111-140
Проблема Бюхи (обзор, новые точки зрения и некоторые нерешенные задачи)
Г. Пастен, Т. Фейдас, Х. Видо
Universidad de Concepci\'on
hpasten@udec.cl
University of Crete
pheidas@math.uoc.gr
Universidad de Concepci\'on
hpasten\@udec.cl
- Аннотация:
Последовательность элементов коммутативного кольца с единицей,
вторые конечные разности последовательности квадратов элементов которой
образуют постоянную последовательность (2), называется последовательностью Бюхи.
Последовательность $x_n$, для которой $x_n=(x+n)^2$ при фиксированном $x$,
является последовательностью Бюхи; мы называем эту последовательность тривиальной. Понятие
тривиальности последовательности зависит от поставленной задачи, например, нас часто
интересуют последовательности, не все
элементы которых лежат в некотором подкольце рассматриваемого кольца
(скажем, последовательности элементов поля рациональных функций $F(z)$, не лежащие
в поле $F$). Проблема Бюхи для данного кольца -- выяснить,
существует ли такое число $M$, что любая последлвательность Бюхи элементов этого
кольца длиной не меньше $M$ тривиальна.
Эта работа -- обзор по проблеме Бюхи и ее аналогов для конечных
разностей и степеней выше второй. В работе приводятся старые и новые
открытые проблемы, несколько новых результатов и идеи доказательства
некоторых известных результатов
(например, условное доказательство Войта для кольца целых чисел и довольно детальное
доказательство для полиномиальных колецнулевой характеристики). Приводится также новое
короткое доказательство теоремы Хенсли, утверждающей, что проблема
Бюхи имеет положительное решение для простых конечных полей.
Обсуждаются приложения к логике, послужившие исходной мотивировкой рассматриваемых
в этом обзоре проблем.
Библ. -- 30 назв.
- Ключевые слова: Бючи, задача о квадратах, Диофантовы уравнения,
10-я проблема Гильберта, неразрешимость
[B\"uchi, ``n squares problem'', Diophantine equations, Hilbert's
tenth problem, undecidability]
Полный текст(.pdf)