"Записки научных семинаров ПОМИ"

Том 374, стр. 58-81

Составная модель обобщенного осциллятора. I

В. В. Борзов, Е. В. Дамаскинский

Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. М.А.Бонч-Бруевича, Наб. реки Мойки 61, 190061 Санкт-Петербург, Россия

borzov.vadim@yandex.ru

Военный инженерный технический институт \newline Захарьевская 22, 191123 Санкт-Петербург, Россия

evd@pdmi.ras.ru

Аннотация: Исследуется задача реализации заданного обобщенного осциллятора посредством системы из $N$ обобщенных осцилляторов другого типа. Рассмотрен обобщенный осциллятор, связанный с фиксированной системой ортогональных полиномов, которые определяются трехчленным рекуррентным соотношением и соответствующей трехдиагональной матрицей Якоби $J$. Случай $N=2$ был изучен в предыдущей работе авторов. Оказадось, что мера ортогональности исходной системы полиномов симметрична относительно поворотов на $\pi$. В настоящей работе рассмотрен случай $N=3$. Доказано, что такая задача допускает решение только в двух случаях. В первом матрица Якоби, связанная с заданным "составным" обобщенным осциллятором имеет блочно-диагональный вид и состоит из однотипных блоков размера $3\times 3$. Более интересен второй случай, когда матрица Якоби не имеет блочного вида. Для этой матрицы построена соответствующая система ортогональных многочленов которая разбивается на три серии, связанные с многочленами Чебышева второго рода. Основным результатом работы является решение проблемы моментов для соответствующей матрицы Якоби. При этом оказывается, что построенная мера обладает симметрией относительно поворотов на $2\pi/3$. Библ. -- 6 назв.
Ключевые слова: обобщенный осциллятор, ортогональные многочлены, проблема моментов [generalized oscillator, orthogonal polynomials, moment problem] Полный текст(.pdf)