"Записки научных семинаров ПОМИ"
Том 372, стр. 108-118
О мере центральной симметрии полей выпуклых фигур и трёхмерных выпуклых тел
В. В. Макеев
С.-Петербургский
государственный университет,
Университетский пр. 28,
Ст.Петергоф, 198504 Санкт-Петербург, Россия
mvv57@inbox.ru
- Аннотация:
Пусть $\gamma^3_2:E_2(\Bbb R^3)\to G_2(\Bbb R^3)$ -- тавтологическое расслоение над
многообразием Грассмана $2$-плоскостей в $\Bbb R^3$, где слоем над плоскостью
является она же, рассматриваемая как двумерное подпространство в $\Bbb R^3$. Мы
говорим, что в расслоении $\gamma^3_2$ задано поле выпуклых фигур, если в каждом слое выделена выпуклая фигура, непрерывно зависящая от этого слоя.
Теорема 1 Во всяком поле выпуклых фигур в расслоении $\gamma^3_2$
найдётся фигура $K$, содержащая центрально-симметричную
выпуклую фигуру площади $\ge(4+16\sqrt{2})S(K)/31 > 0,858S(K)$. (Через $S(K)$ обозначается площадь фигуры $K$.)
Теорема 2 Во всяком поле выпуклых фигур в расслоении $\gamma^3_2$
найдётся фигура $K$, содержащаяся в центрально-симметричной
выпуклой фигуре площади $\le(12\sqrt{2}-8)S(K)/7 < 1,282S(K)$.
Теорема 3 Всякое трёхмерное выпуклое тело $K$ содержится в
цилиндре с выпуклым центрально-симметричным основанием и объёмом
$\le(36\sqrt{2}-24)V(K)/7 < 3,845V(K)$. (Через $V(K)$ обозначается объем тела $K$.)
Библ. -- 5 назв.
- Ключевые слова: аффинно-правильный восьмиугольник
[affine regular octagon]
Полный текст(.pdf)