"Записки научных семинаров ПОМИ"

VOL. 366, стр. 13-41

О сжатиях с компактными дефектами

М. Ф. Гамаль

С.-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАН Фонтанка 27, 191023, С.-Петербург, Россия

gamal@pdmi.ras.ru

Аннотация: В работе [8] был поставлен следующий вопрос. Пусть $T$ -- сжатие класса $C_{10}$, такое что оператор $I-T^\ast T$ компактен и спектр сжатия $T$ -- весь единичный круг. Может ли изометрическая аcимптота сжатия $T$ быть редуктивным унитарным оператором? В настоящей статье дается положительный ответ на этот вопрос. Строится два вида примеров. Один вид примеров -- это операторы умножения на независимую переменную в замыкании аналитических многочленов в $L^2(\nu)$, где $\nu$ -- подходящая положительная конечная борелевская мера в замкнутом единичном круге. Второй вид примеров основан на теореме 6.2 из [5]. Мы получаем сжатие $T$, удовлетворяющее всем нужным условиям и такое, что оператор $I-T^\ast T$ принадлежит классам Шаттена--фон Нейманна $\goth S_p$ для всех $p>1$. Также приводится пример сжатия $T$, такого что оператор $I-T^\ast T$ принадлежит классам $\goth S_p$ для всех $p>1$, сжатие $T$ квазиподобно унитарному оператору и имеет ``больше'' инвариантных подпространств, чем этот унитарный оператор. Также, следуя [2], показывается, что если подмножество единичной окружности является спектром сжатия, квазиподобного абсолютно непрерывному унитарному оператору, то это сжатие $T$ может быть выбрано так, чтобы оператор $I-T^\ast T$ был компактным. Библ. -- 29 назв.
Ключевые слова: Вполне неунитарное сжатие, унитарный оператор, функциональное исчисление Надя--Фойаша, пространство Харди [completely nonunitary contraction, unitary operator, functional Sz.-Nagy--Foias calculus, Hardy space]

Полный текст(.pdf)