Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАН

ПРЕПРИНТ 07/2025

AN APPROACH TO THE LINDELOF HYPOTHESIS FOR DIRICHLET L-FUNCTIONS

This preprint was accepted June 16, 2025

ABSTRACT:

   The suggested approach is based on a known
representation of Dirichlet L-functions
via the incomplete  gamma functions. Some
properties of the Taylor coefficients of the lower
incomplete gamma function at infinity seem to be new.
Specifically, these coefficients can be expressed in
terms of Touchard polynomials. Furthermore, these same
coefficients can be used to reformulate the functional
equation for Dirichlet L-functions. This relationship
'explains' why \(|L_\chi(1/2+i t)|\) should be
small.

  To present the  new ideas in a nutshell,  we start by
giving (in Section 1) a 'formula proof' of the Lindelof
hypothesis. This is not a genuine proof, as we are not
concerned with the convergence of our series nor do we
justify changing the order of summation.

  In Section 2, we suggest some hypothetical ways of
transforming the 'proof' from Section 1 into a rigorous
mathematical proof.

  Sections 3--5 contain some technical detail and
bibliographical references.


 Key words:  

Lindelof hypothesis,
Dirichlet L-functions, functional equation,
series acceleration, incomplete gamma function,
Touchard polynomials



Ю. В. Матиясевич



Один подход к гипотезе Линделёфа для L-функций Дирихле



АННОТАЦИЯ:

     Предлагаемый подход основан на известном
  представлении L-функций Дирихле через неполные
  гамма-функции. Новыми представяются некоторые
  свойства тейлоровских коэффициентов разложения
  нижней неполной гамма-функции на бесконечности.
  А именно, эти коэффициенты выражаются через
  многочлены Тушара (Touchard polynomials). Кроме
  того, те же самые коэффициенты позволяют
  переформулировать функциональное уравнение для
  L-функций Дирихле. Эта связь 'объясняет', почему
  величина \(|L_\chi(1/2+i t)|\) должна быть малой.

    Чтобы сжато изложить новые идеи, мы начинаем с
  представления (в разделе 1) 'формульного
  доказательства' гипотезы Линделёфа. Это не является
  настоящим доказательством, поскольку мы игнорируем
  вопросы сходимости рассматриваемых рядов и законности
  перемены порядка суммирования.

    В разделе 2 мы рассматриваем возможные пути
  преобразования 'доказательства' из раздела 1 в
  корректное математическое доказательство.

    В разделах 3--5 рассматриваются технические детали
  и приводятся библиографические ссылки.
 
  
  

Ключевые слова: 
гипотеза Линделёфа,  L-функции Дирихле, функциональное
уравнение, ускорение сходимости рядов, неполная гамма-функция, многочлены
Тушара

 
 

 [Full text:
  Preprint in Russian (.pdf.gz)]






Back to all preprints


Back to the Steklov
Institute of Mathematics at St.Petersburg