Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАН

ПРЕПРИНТ 01/2025

УСРЕДНЕНИЕ НЕЛОКАЛЬНОГО НЕСАМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА СВЁРТОЧНОГО ТИПА

This preprint was accepted March 18, 2025

АННОТАЦИЯ:

В $L_2(\R^d)$ рассматривается  ограниченный оператор
${\mathbb A}_\eps$, $\eps >0$, вида
$$
({\mathbb A}_\eps u) (\x) = \eps^{-d-2} \int_{\R^d} a((\x-\y)/\eps) \mu(\x/\eps, \y/\eps) \left( u(\x) - u(\y) \right)\,d\y.
$$
Предполагается, что $a(\x)$ --- неотрицательная функция класса $L_1(\R^d)$,   а $\mu(\x,\y)$ --- функция, $\Z^d$-периодическая по каждой переменной, причем
 $0< \mu_- \leqslant \mu(\x,\y) \leqslant \mu_+< \infty$. Оператор ${\mathbb A}_\eps$, вообще говоря, несамосопряжен. Кроме того, предполагается, что
конечны моменты $M_k = \int_{\R^d} |\x|^k a(\x)\,d\x$, $k=1,2,3$. 
Получена аппроксимация резольвенты $({\mathbb A}_\eps + I)^{-1}$ при малом $\eps$
по операторной норме в $L_2(\R^d)$ с оценкой погрешности порядка $O(\eps)$. Аппроксимация дается оператором вида $({\mathbb A}^0 + \eps^{-1} \langle \boldsymbol{\alpha},\nabla  \rangle + I)^{-1}$, 
домноженным справа на некоторый периодический множитель $q_0(\x/\eps)$, где 
${\mathbb A}^0 = - \operatorname{div}g^0 \nabla$
--- эффективный оператор, а $\boldsymbol{\alpha}$ --- постоянный вектор.


Ключевые слова: 
нелокальные операторы свёрточного типа,
периодическое усреднение, операторные оценки погрешности, эффективный оператор
 



 E. A. Zhizhina, A. L. Piatnitski, V. A. Sloushch, T. A. Suslina



Homogenization of nonlocal nonselfadjoint convolution type operator



ABSTRACT:

In $L_2(\mathbb{R}^d)$, we consider a bounded operator
${\mathbb A}_\varepsilon$, $\varepsilon >0$, of the form 
$$
({\mathbb A}_\varepsilon u) (\mathbf{x}) = \varepsilon^{-d-2} \int_{\mathbb{R}^d} 
a((\mathbf{x} - \mathbf{y} )/ \varepsilon ) \mu(\mathbf{x} /\varepsilon, \mathbf{y} /\varepsilon) \left( u(\mathbf{x}) - u(\mathbf{y}) \right)\, d\mathbf{y}.
$$
It is assumed that  $a(\mathbf{x})$ is a nonnegative function of class  $L_1(\mathbb{R}^d)$ and $\mu(\mathbf{x},\mathbf{y})$ is $\mathbb{Z}^d$-periodic in each variable and such that  
 $0< \mu_- \leqslant \mu(\mathbf{x},\mathbf{y}) \leqslant \mu_+< \infty$. In general, the operator 
 ${\mathbb A}_\varepsilon$ is nonselfadjoint. Moreover, it is assumed that
the moments $M_k (a)= \int_{\mathbb{R}^d} | \mathbf{x} |^k a(\mathbf{x})\,d\mathbf{x}$, $k=1,2,3,$ are finite.
We obtain approximation of the resolvent  $({\mathbb A}_\varepsilon + I)^{-1}$ for small $\varepsilon$ 
in the operator norm on  $L_2(\mathbb{R}^d)$ with error of order  $O(\varepsilon)$.
Approximation is given by an operator of the form 
$({\mathbb A}^0 + \varepsilon^{-1} \langle \boldsymbol{\alpha},\nabla  \rangle + I)^{-1}$ multiplied from the right 
by  some periodic factor $q_0(\mathbf{x}/\varepsilon)$, where  
${\mathbb A}^0 = - \operatorname{div}g^0 \nabla$ is an effective operator, and $\boldsymbol{\alpha}$ 
is a constant vector.
 
  
  

 Key words:  
Nonlocal convolution type operators, periodic homogenization, operator estimates, effective operator.

 
 

 [Full text:
  Preprint in Russian (.pdf.gz)]






Back to all preprints


Back to the Steklov
Institute of Mathematics at St.Petersburg