Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАН

ПРЕПРИНТ 04/2023

УСРЕДНЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ И ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В ОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ ПРИ УСЛОВИИ НЕЙМАНА

This preprint was accepted June 29, 2023

ABSTRACT:

Пусть $\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^d$ --- 
ограниченная область с границей класса $C^{1,1}$. 
В пространстве $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ рассматривается
 самосопряженный матричный эллиптический дифференциальный оператор 
$B_{N,\varepsilon}$, $0<\varepsilon\leqslant1$, второго порядка при 
условии Неймана на границе. Старшая часть оператора задана в факторизованной 
форме. Оператор включает члены первого и нулевого порядков. 
Коэффициенты оператора $B_{N,\varepsilon}$ периодичны и зависят от 
$\mathbf{x}/\varepsilon$. Изучается обобщенная резольвента $\left(B_{N,\varepsilon}-\zeta Q_0(\cdot/\varepsilon)\right)^{-1}$,
 где $Q_0$ --- периодическая ограниченная и положительно определенная 
матрица-функция, а $\zeta$ --- комплексный параметр. 
Получены аппроксимации обобщенной резольвенты по операторной норме в 
$L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ и по норме операторов, действующих из 
$L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ в класс Соболева $H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$, 
с двухпараметрическими (относительно $\varepsilon$ и $\zeta$) оценками погрешности. 
Результаты применяются к изучению поведения решений начально-краевой задачи 
с условием Неймана для параболического уравнения $Q_0(\x/\eps) \partial_t \u_\eps(\x,t) = -( B_{N,\varepsilon} \u_\eps)(\x,t)$ 
в цилиндре $\O \times (0,T)$, где $0 Key words:  
периодические дифференциальные операторы, эллиптические системы, 
параболические системы, усреднение, операторные оценки погрешности.


 T. A. Suslina



Homogenization of elliptic and parabolic equations with periodic coefficients in a bounded domain 
with the Neumann condition



АННОТАЦИЯ:

Let $\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^d$ be a bounded domain of class $C^{1,1}$. 
In  $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$, we consider a selfadjoint matrix elliptic second-order differential operator $B_{N,\varepsilon}$, $0<\varepsilon\leqslant1$, with the Neumann boundary condition. The principal part of this operator is given in a factorized form. The operator includes first-order and zero-order terms. The coefficients of the operator $B_{N,\varepsilon}$ are periodic and depend on  $\mathbf{x}/\varepsilon$. 
We study the generalized resolvent $\left(B_{N,\varepsilon}-\zeta Q_0(\cdot/\varepsilon)\right)^{-1}$, where $Q_0$ is a periodic bounded and positive definite matrix-valued function, and $\zeta$ is a complex-valued parameter. We obtain  approximations of the generalized resolvent in the operator norm on $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ and in the norm of operators acting from $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ to the Sobolev class $H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$, with two-parametric error estimates (with respect to $\varepsilon$ and $\zeta$). 
The results are applied to study the behavior of the solutions of initial boundary value problem with the Neumann condition for the parabolic equation $Q_0(\mathbf{x}/ \varepsilon) \partial_t \mathbf{u}_\varepsilon(\mathbf{x},t) = -( B_{N,\varepsilon}
 \mathbf{u}_\varepsilon)(\mathbf{x},t)$ in a cylinder $\mathcal{O} \times (0,T)$, where $0

Ключевые слова: 
periodic differential operators, elliptic systems, parabolic systems, 
homogenization, operator error estimates.

 
 

 [Full text:
  Preprint in Russian (.pdf.gz)]






Back to all preprints


Back to the Steklov
Institute of Mathematics at St.Petersburg