Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАН

ПРЕПРИНТ 14/2022

ТЕОРИЯ РАЗРЕШИМОСТИ В ГЁЛЬДЕРОВСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ ДЛЯ ЗАДАЧИ ВРАЩЕНИЯ ДВУХФАЗНОЙ КАПЛИ

This preprint was accepted November 16, 2022

АННОТАЦИЯ:

Исследуется равномерно вращающаяся конечная масса, состоящая из двух 
несмешивающихся вязких несжимаемых самогравитирующих жидкостей. 
Это движение описывается   задачей c неизвестными границами для системы Навье--Стокса 
с массовыми силами и градиентом ньютоновского потенциала в правых частях. 
Поверхность раздела жидкостей считается замкнутой. 
Поверхностное натяжение действует как на границу раздела, так и на внешнюю свободную поверхность.
Исследование задачи проводится в пространствах функций Гёльдера. 
Доказывается устойчивость вращающейся двухфазной капли с самогравитацией
 при достаточной малости начальных данных, угловой скорости  и экспоненциально 
убывающих массовых сил, а также положительности второй вариации функционала 
энергии. Доказательство основано на анализе малых возмущений состояния равновесия 
вращающейся двухслойной жидкости. В результате делается вывод, 
что возмущение осесимметричной фигуры равновесия экспоненциально стремится к нулю 
при $t\to\infty $, при этом движение капли переходит во вращение жидкой массы как твердого тела.
Ключевые слова:   
задача для двухфазной жидкости с учётом массовых сил; устойчивость решения; 
вязкие несжимаемые самогравитирующие жидкости; задача дифракции  для системы Навье--Стокса; 
пространства Гёльдера; экспоненциальное убывание.



I. V. Denisova,  V. A. Solonnikov



Hoelder Space Theory for  Rotation Problem of Two-Phase Drop




ABSTRACT:

We investigate a uniformly rotating finite
mass consisting of two immiscible  viscous incompressible
self-gravitating fluids which is governed by an interface problem for
the Navier--Stokes system with  mass forces and the gradient of the
Newton potential in the right-hand sides. The interface between the
liquids is assumed to be closed. Surface tension acts on the interface
as well as on the exterior free boundary.

A study of the problem is made in the H\"{o}lder spaces of functions.
We   prove the stability of a rotating two-phase drop  with
self-gravity
 under sufficient  smallness of initial data and angular velocity,
exponentially decreasing mass forces, as well as the positivity of the
second variation of  energy functional. The proof
  is based on an analysis of   small perturbations of the equilibrium
state of  rotating two-phase fluid. We obtain that the perturbation of
an axisymmetric equilibrium figure exponentially tends to zero as
$t\to\infty  $, the motion of the drop going over to the rotation of
liquid mass as a solid.
   
  

Key words: 
two-phase liquid problem with mass forces,
Stability of a solution,  Viscous incompressible self-gravitating
fluids, Interface problem for the Navier--Stokes system,  H\"{o}lder
spaces, Exponential decay

 
 

 [Full text:
   (.pdf.gz)]






Back to all preprints


Back to the Steklov
Institute of Mathematics at St.Petersburg