Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАН

ПРЕПРИНТ 07/2020

ПОРОГОВЫЕ АППРОКСИМАЦИИ РЕЗОЛЬВЕНТЫ ПОЛИНОМИАЛЬНОГО НЕОТРИЦАТЕЛЬНОГО ОПЕРАТОРНОГО ПУЧКА

This preprint was accepted November 24, 2020

АННОТАЦИЯ:
В гильбертовом пространстве $\HH$ рассматривается семейство операторов $A(t)$, $t \in \R$, 
 допускающих факторизацию вида $A(t) = X(t)^* X(t)$, где $X(t)= X_0 + X_1 t + \dots + X_p t^p$, $p \ge 2$.
Предполагается, что точка $\lambda_0=0$ является изолированным собственным значением оператора $A(0)$ конечной кратности. Пусть $F(t)$ --- спектральный проектор оператора $A(t)$ для промежутка $[0,\delta]$.
При $|t| \le t^0$  получены аппроксимации по операторной норме в $\HH$ для проектора $F(t)$ с погрешностью $O(t^{2p})$ и для оператора $A(t)F(t)$ с погрешностью
$O(t^{4p})$ (так называемые пороговые аппроксимации). Числа $\delta$ и $t^0$
контролируются явно. На  основе пороговых аппроксимаций найдено приближение по операторной норме в $\HH$ для
резольвенты $(A(t) + \eps^{2p} I )^{-1}$ при $|t|\le t^0$ и малом $\eps>0$ с погрешностью $O(1)$.
Все упомянутые аппроксимации даются в терминах спектральных характеристик оператора
$A(t)$ вблизи нижнего края спектра. Результаты нацелены на применение к задачам усреднения периодических дифференциальных операторов в пределе малого периода.
 

V. A. Sloushch, T. A. Suslina

THRESHOLD APPROXIMATIONS FOR THE RESOLVENT OF A POLYNOMIAL NONNEGATIVE OPERATOR PENCIL

ABSTRACT:
   
In a Hilbert space $\mathfrak{H}$, we consider a family of operators $A(t)$, $t\in \mathbb{R}$, 
given in a factorized form  $A(t) = X(t)^* X(t)$, where $X(t)= X_0 + X_1 t + \dots + X_p t^p$, $p \geqslant 2$.
It is assumed that the point $\lambda_0=0$ is an isolated eigenvalue of finite multiplicity for the operator $A(0)$.  Let $F(t)$ be the spectral projection of the operator $A(t)$ corresponding to the interval $[0,\delta]$.
For $|t| \leqslant t^0$,  we obtain approximations in the operator norm in  $\mathfrak{H}$ for the projection  $F(t)$ with 
error $O(t^{2p})$ and for the operator $A(t)F(t)$ with error
$O(t^{4p})$ (the so called threshold approximations). The numbers $\delta$ and $t^0$ are controlled explicitly. 
Using the threshold approximations, we find approximation in the operator norm in  $\mathfrak{H}$ for the resolvent  $(A(t) + \varepsilon^{2p} I )^{-1}$ for $|t|\leqslant t^0$ and small $\varepsilon>0$ with error $O(1)$.
All the approximations mentioned above are given in terms of the spectral characteristics of the operator
$A(t)$ at the bottom of the spectrum. The results are aimed at applying to homogenization problems for periodic differential operators in the small period limit.

 Key words:   
homogenization, polynomial operator pencils, threshold approximations, correctors, analytic perturbation theory


[Full text:
 Preprint in Russian (.pdf.gz)







Back to all preprints


Back to the Steklov
Institute of Mathematics at St.Petersburg