Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАН

ПРЕПРИНТ 05/2020

MORE CROP CIRCLES DRAWN BY RIEMANN's ZETA FUNCTION

This preprint was accepted October 19, 2020

ABSTRACT:

We define certain finite Dirichlet series
(\upsilon_M(\alpha,\tau,s)\) of the form

\[  \upsilon_M(\alpha,\tau,s)=
    \sum_{m=1}^M b_{M,m}(\alpha,\tau)m^{-s}  \]

where \(\alpha\) and \(\tau\) are real parameters,
and the coefficients \(b_{M,m}(\alpha,\tau)\)
are complex numbers. Numerical data suggest that
these finite Dirichlet series have the following
properties.

I. For all \(\alpha\), \(\tau\), and \(s\)

\[ \sum_{M=1}^\infty  \upsilon_M(\alpha,\tau,s)=\eta(s) (*)\]

where

\[ \eta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n+1}}{n}^{-s}
          =(1-2\times  2^{-s})\zeta(s) \]

is the alternating zeta function
(known also as Dirichlet eta function).

II. The individual summands from
expansion (*) satisfy the following limiting
form of the slanted functional equation:

\[ \frac{\overline{h(1-\sigma+\myi t)\upsilon_{M}(\alpha,\tau,1-\sigma+\myi t)}
        {h(\sigma+\myi t)\upsilon_{M}(\alpha,\tau,\sigma+\myi t)}
              \rightarrow e^{2\alpha}  \]

where

\[ h(s)=\frac{\pi^{-\frac{s}{2}}(s-1)\Gamma(1+\tfrac{s}{2})}
             {1-2\times  2^{-s}}.  \]

III. The ratio

\[ \Upsilon_{M}(\alpha,\tau,\sigma,t)=
        \frac{\upsilon_M(\alpha,\tau,\sigma+\myi t)}
             {\eta(\sigma+\myi t)}   \]

``draws'' almost ideal circular arcs
when \(M\), \(\alpha\), \(\tau\),
and either \(\sigma\) or \(t\) are fixed,
and the remaining fifth argument
varies. When \(\sigma\) is fixed,
the arcs are closely connected with
the non-trivial zeta zeros.

Ю. В. Матиясевич

Новые круги на полях, которые рисует дзета-функция Римана

АННОТАЦИЯ:

Мы определяем некоторые конечные ряды Дирихле
(\upsilon_M(\alpha,\tau,s)\) вида

\[  \upsilon_M(\alpha,\tau,s)=
    \sum_{m=1}^M b_{M,m}(\alpha,\tau)m^{-s}  \],

где \(\alpha\) и \(\tau\) -- вещественные параметры,
а коэффициенты \(b_{M,m}(\alpha,\tau)\)
являются комплексными числами. Вычисления позволяют
предположить, что эти конечные ряды обладают
следующими свойствами.

I. Для любых \(\alpha\), \(\tau\) и \(s\)

\[ \sum_{M=1}^\infty  \upsilon_M(\alpha,\tau,s)=\eta(s), (*)\]

где

\[ \eta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n+1}}{n}^{-s}
          =(1-2\times  2^{-s})\zeta(s) \]

-- это знакопеременная дзета функция
(известная также как эта функция Дирихле).

II. индивидуальные слагаемые в
разложении (*) удовлетворяют следующей
предельной форме косого функционального уравнения:

\[ \frac{\overline{h(1-\sigma+\myi t)\upsilon_{M}(\alpha,\tau,1-\sigma+\myi t)}
        {h(\sigma+\myi t)\upsilon_{M}(\alpha,\tau,\sigma+\myi t)}
              \rightarrow e^{2\alpha}  \],

где

\[ h(s)=\frac{\pi^{-\frac{s}{2}}(s-1)\Gamma(1+\tfrac{s}{2})}
             {1-2\times  2^{-s}}.  \]

III. Отношение

\[ \Upsilon_{M}(\alpha,\tau,\sigma,t)=
        \frac{\upsilon_M(\alpha,\tau,\sigma+\myi t)}
             {\eta(\sigma+\myi t)}   \]

"рисует" почти идеально круглые дуги
когда \(M\), \(\alpha\), \(\tau\),
и либо \(\sigma\), либо \(t\) фиксированы,
а остающийся свободным пятый аргумент изменяется.
Если фиксируется \(\sigma\), то дуги тесно
связаны с нетривиальными нулями дзета функции.