This preprint was accepted April 27, 2020
ABSTRACT:
To be able to use the linear algebra for the study of
certain Dirichlet series
\(D(s)=\sum_{n=1}^\infty d_n n^{-s}\)
we consider related Dirichlet series with independent exponents,
\(D_\infty(s_1,s_2,\dots)=\sum_{n=1}^\infty d_nn^{-s_n}\).
To calculate approximate values of the initial \(s_1,\dots,s_N\)
we consider many approximations of \(D(s)\)
by finite Dirichlet series,
\(D_{N,m}(s)=\sum_{n=1}^N d_{N,m,n} n^{-s}\),
and at first solve linear system
\(\sum_{n=1}^N d_{N,m,n} x_n=0\).
If in its solution \(x_n\approx n^{-z}\) for certain \(z\),
then we may hope that this \(z\) is close to a zero of \(D(s)\).
However, a priori, such \(z\) need not exist at all.
The paper presents a numerical example
with the alternating zeta function
\(\eta(s)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}n^{-s}\)
in the role of \(D(s)\)
and specially defined approximations \(D_{N,m}(s)\).
In our case such \(z\) does exist, and, moreover, it is very
close to a zero of \(\eta(s)\); unfortunately,
this zero is not a zero of the zeta function.
Key words:
alternating zeta function, finite Dirichlet series, linear system.
АННОТАЦИЯ:
Для того, чтобы использовать линейную алгебру для
исследования некотого ряда Дирихле
\( D(s)=\sum_{n=1}^\infty d_n n^{-s} \)
мы рассматриваем соответствующий
ряд Дирихле с независимыми экспонентами,
\( D_\infty(s_1,s_2,\dots)=\sum_{n=1}^\infty d_nn^{-s_n} \).
Чтобы вычислить приближённые значения начальных \( s_1,\dots,s_N \),
мы используем много приближений \( D(s) \) посредством конечных
рядов Дирихле,
\( D_{N,m}(s)=\sum_{n=1}^N d_{N,m,n} n^{-s} \),
и сначала решаем линейную систему
\( \sum_{n=1}^N d_{N,m,n} x_n=0 \).
Если оказывается, что в её решении \( x_n\approx n^{-z} \)
для некоторого \( z \), то мы можем надеяться,
что это \( z \) будет близко к неторому нулю \( D(s) \).
Однако, a priori}, такое \( z \) может не существовать.
В работе приводится численный пример
с альтернативной дзета-функцией
\( \eta(s)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}n^{-s} \)
в роли \( D(s) \) и выбранными специальным образом
конечными приближениями \( D_{N,m}(s) \).
В нашем случае такое \( z \) существует, более того,
оно близко к некоторому нулю \( \eta(s) \); к сожалению, этот нуль
не является нулём дзета-функции.
Ключевые слова:
знакопеременная дзета-функция, конечные ряды Дирихле,
линейная система