Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАН

ПРЕПРИНТ 10/2018

УСРЕДНЕНИЕ СТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ МАКСВЕЛЛА С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В ОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ

This preprint was accepted October 5, 2018

АННОТАЦИЯ:
 В ограниченной области $\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^3$ класса $C^{1,1}$ рассматривается стационарная система Максвелла при условиях идеальной проводимости на границе. Предполагается, что диэлектрическая и магнитная проницаемости имеют вид  $\eta(\x/\eps)$ и $\mu(\x/\eps)$,
где  $\eta(\x)$ и $\mu(\x)$ --- симметричные $(3 \times 3)$-матрицы-функции, периодические относительно некоторой решетки, ограниченные и положительно определенные. Здесь $\eps >0$ --- малый параметр. Известно, что при $\eps \to 0$ решения системы Максвелла --- электрическая напряженность $\u_\eps$, электрическая индукция $\w_\eps$, магнитная напряженность $\v_\eps$ и магнитная индукция $\z_\eps$ слабо сходятся в $L_2(\O)$ к соответствующим усредненным полям $\u_0$, $\w_0$, $\v_0$,~$\z_0$ (решениям усредненной системы Максвелла с эффективными коэффициентами). Мы усиливаем классические результаты и находим аппроксимации для полей $\u_\eps$, $\w_\eps$, $\v_\eps$ и $\z_\eps$ 
по норме в~$L_2(\O)$.  Погрешности оцениваются через $C \sqrt{\eps} (\|\q\|_{L_2}+\|\r\|_{L_2})$, где соленоидальные вектор-функции $\q$ и $\r$ --- правые части уравнений системы Максвелла.
   
 

T. A. Suslina

HOMOGENIZATION OF THE STATIONARY MAXWELL SYSTEM WITH PERIODIN COEFFICIENTS IN A BOUNDED DOMAIN

ABSTRACT:
   
 In a bounded domain $\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^3$ of class  $C^{1,1}$, we consider 
 a stationary  Maxwell system with the boundary conditions of perfect conductivity. It is assumed that the dielectric permittivity and the 
magnetic permeability are given by $\eta(\x/\eps)$ and $\mu(\x/\eps)$, where $\eta(\x)$ and $\mu(\x)$ are symmetric $(3 \times 3)$-matrix-valued functions. They are 
 periodic with respect to some lattice, bounded and positive definite.
Here  $\eps >0$ is the small parameter. 
 Denote the solutions of the Maxwell system as follows: $\u_\eps$ is the electric intensity,  $\w_\eps$ is the electric flux density, $\v_\eps$ is the magnetic intensity, and $\z_\eps$ is the magnetic flux density.
 It is known that, as $\eps \to 0$, the solutions $\u_\eps$, $\w_\eps$, $\v_\eps$, $\z_\eps$ weakly converge in 
  $L_2$ to the corresponding homogenized fields $\u_0$, $\w_0$, $\v_0$, $\z_0$ (the solutions of the homogenized Maxwell system with effective coefficients). 
 We improve the classical results and find approximations for $\u_\eps$, $\w_\eps$, $\v_\eps$, and $\z_\eps$
in the $L_2$-norm. The error terms are estimated by $C \sqrt{\eps} (\|\q \|_{L_2} + \|\r\|_{L_2})$,
where the divergence-free vector-valued functions $\q$ and $\r$ are the right-hand sides of the Maxwell equations. 

 Key words:    periodic differential operators, 
homogenization, operator error estimates, stationary Maxwell system


[Full text:
 Preprint in Russian (.pdf.gz)







Back to all preprints


Back to the Steklov
Institute of Mathematics at St.Petersburg