Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАН

ПРЕПРИНТ 01/2018

COMPUTATIONAL ASPECTS OF HAMBURGER's THEOREM

This preprint was accepted January 15, 2018

ABSTRACT:

 Riemann's zeta-function (defined by a certain
Dirichlet series) satisfies an identity known as the functional equation. H. Hamburger established that the function is identified by
the equation inside a wide class of functions defned by Dirichlet
series.

Riemann's zeta-function is a member of a large family of functions with similar properties, in particular, satisfying certain functional equations. 
  Hamburger's theorem can be extended to some (but not to all) of these equations.

The paper address the following question: how could we discover the Dirichlet series satisfying given functional equation?
Two ``rules of thumb'' for performing such discoveries via numerical computations are demonstrated 
for functional equations satisfied by Dirichlet eta-function, Ramanujan tau L-function, and
Davenport--Heilbronn function.
A conjectured discrete version of Hamburger's theorem is stated.


  

Ю. В. Матиясевич

Вычислительные аспекты теоремы Гамбургера

АННОТАЦИЯ:
     Дзета-функция Римана  (определяемая некоторым рядом
Дирихле) удовлетворяет тождеству, известному как функциональное
уравнение.  Г. Гамбургер установил, что дзета-функция однозначно
определяется этим уравнением в широком классе функций, задаваемых
рядами Дирихле.

 Дзета-функция Римана является представителем большого
семейства функций с аналогичными свойствами, в частности,
удовлетворяющих определённым функциональным уравнениям. Теорема
Гамбургера может быть распространена на некоторые (но не все) эти
уравнения.

В работе рассматривается следующий вопрос: каким образом мы могли бы
открыть ряд Дирихле, удовлетворяющий данному функциональному
уравнению? Два эмпирических правила для достижения этой цели
посредством вычислений продемонстрированы  на функциональных
уравнениях, которым удовлетворяют эта-функция Дирихле, L-функция
Рамануджана и  функция Давенпорта--Хейльбронна.

Сформулирована предполагаемая дискретная версия теоремы Гамбургера.