Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАН

ПРЕПРИНТ 11/2017

АБСОЛЮТ КОНЕЧНО ПОРОЖДЕННЫХ ГРУПП: I. КОММУТАТИВНЫЕ (ПОЛУ)ГРУППЫ

This preprint was accepted December 11, 2017

АННОТАЦИЯ:
 В работе полностью описывается абсолют коммутативных конечно порожденных групп и полугрупп. 
Абсолют (прежнее название~--- граница-выход) есть обобщение понятия
границы случайного блуждания на группе, а~именно, абсолют группы (полугруппы) есть множество эргодических центральных мер на компакте всех бесконечных траекторий простого случайного блуждания на группе. 
Центральной мерой (относительно некоторой конечной системы образующих группы или полугруппы) называется марковская мера на пространстве траекторий, у которой копереходные распределения вероятностей во всех точках есть равномерное распределение на образующих (т.\,е.~мера с максимальной энтропией).
Главный результат, далеко обобщающий классическую теорему де~Финетти, состоит в следующем: 
абсолют коммутативной полугруппы совпадает с совокупностью 
тех центральных мер, которые отвечают марковским цепям с независимыми одинаково распределенными приращениями,
а топологически является (в~основном случае) замкнутым диском конечной размерности.
 

A. M. VERSHIKA, A. V. MALYUTIN

THE ABSOLUTE OF FINITELY GENERATED GROUPS: I. COMMUTATIVE (SEMI)GROUPS

ABSTRACT:
     We give a complete description of the absolute for commutative finitely
generated groups and semigroups. The absolute (formerly called the
exit-boundary) is a generalization of the boundary concept for random
walks on groups. Namely, the absolute of a group (a semigroup) is the set
of all ergodic central measures on the compact space of all infinite paths
of the simple random walk on the group. A Markov measure on the path space
is said to be central (with respect to some finite system of generators of
a group or a semigroup) if its set of cotransition probabilities at each
point is the uniform distribution on the generators (i.e., a central
measure is a measure with maximal entropy). Our main result (it is a
significant generalization of the classical de Finetti's theorem) is as
follows. The absolute of a commutative semigroup coincides with the
collection of those central measures that correspond to the Markov chains
with independent identically distributed increments. In the main case, we
also show that the absolute is homeomorphic to a closed disc of finite
dimension.
   
 
   Key words:     random walk, group, semigroup, absolute, exit-boundary,
Poisson--Furstenberg boundary, Martin boundary, ergodic central measure


[Full text:
 Preprint in Russian (.pdf.gz)







Back to all preprints


Back to the Steklov
Institute of Mathematics at St.Petersburg