Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАН

ПРЕПРИНТ 07/2017

POINT DISTRIBUTIONS IN TWO-POINT HOMOGENEOUS SPACES

This preprint was accepted August 28, 2017

ABSTRACT:

   We continue our study of point distributions in compact metric spaces.
In the present paper we consider compact connected
two-point homogeneous spaces (Riemannian symmetric spaces of rank one).
All such spaces are known, they are the spheres in the Euclidean spaces, 
the real, complex and quaternionic projective spaces and the octonionic projective plane.
Our concern is with discrepancies of distributions in metric balls and sums of 
pairwise distances between points of distributions in such spaces. 

Using the geometric features of two-point spaces, we show that Stolarsky's invariance
principle, well-known for the Euclidean spheres, can be extended to all 
projective spaces and the octonionic projective plane (Theorem \ref{thm2.1} 
and Corollary \ref{cor2.1}). 
We obtain the spherical function expansions for quadratic discrepancies and sums of distances (Theorem \ref{thm9.1}). 
  Relying on these expansions, we prove in all such 
spaces the best possible bounds for quadratic discrepancies and sums of pairwise distances 
for point distributions (Theorem 2.2). 
Applications to $t$-designs on two-point homogeneous
spaces are also considered in the paper 
(Theorem \ref{thm3.1}, Corollaries \ref{cor3.1} 
and 3.2). 


  

М. М. Скриганов

Точечные распределения в двухточечных однородных пространствах

АННОТАЦИЯ:
     В работе продолжено исследование точечных распределений
в компактных связанных двухточечных однородных пространствах
(компактных римановых симметричных пространствах ранга один).
Рассматриваются обобщения принципа инвариантности Столярского,
известного для сфер в евклидовом пространстве, на вещественные,
комплексные и кватернионные проективные пространства и на
октонионную проективную плоскость. В таких пространствах
рассматриваются предельно точные оценки для квадратичных
уклонений и сумм попарных расстояний для точечных распределений.
Рассматриваются так же приложения к $t$-дизайнам в двухточечных
однородных пространствах.