Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАН

ПРЕПРИНТ 04/2017

О Г\"ЕЛЬДЕРОВОМ УСЛОВИИ В ГРАНИЧНОЙ ТОЧКЕ ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ: ОБЩИЕ МОДУЛИ ГЛАДКОГО ПОРЯДКА НЕ ВЫШЕ 2

This preprint was accepted May 11, 2017

АННОТАЦИЯ:
 В недавней статье автора, А. В. Васина и С. В. Кислякова было среди прочего 
установлено, что если $\Phi$ -- ограниченная аналитическая функция в круге, 
  удовлетворяющая некоторым естественным условиям на нули, а её модуль $\varphi=|\Phi|$ 
удовлетворяет в одной граничной точке  $e^{it}$ оценке 
$|\varphi(e^{it})-\varphi(e^{ix})-b(t-x)|\leqslant C|t-x|^\alpha$ 
при некотором $\alpha\in[1,2]$, то функция $\Phi$ удовлетворяет в 
точке $e^{it}$ условию Гёльдера порядка $\alpha/2$ в некотором интегральном 
смысле. В настоящей статье доказывается аналог этого утверждения для не обязательно 
степенных мажорант для модуля гладкости: мы накладываемна функцию $\varphi$ условие $|\varphi(e^{it})-\varphi(e^{ix})-b(t-x)|\leqslant \omega(|t-x|)$, 
где мажоранта $\omega$ удовлетворяет некоторым условиям регулярности. Для простоты мы рассматриваем лишь случай, когда функция $\Phi$ -- внешняя.  
 

A. N. MEDVEDEV

ON A H\"OLDER CONDITION AT A BOUNDARY POINT FOR AN ANALYTIC FUNCTION: GENERAL MODULI OF SMOOTHNESS OF ORDER AT MOST 2

ABSTRACT:
   
 In a recent paper by the author, A. V. Vasin, and S. V. Kislyakov it was proved, among other things, that, given function 
$\Phi$ analytic in the unit disk and satisfying certain natural assumptions 
on its zeros, the condition $|\varphi(e^{it})-\varphi(e^{ix})-b(t-x)|\leqslant C|t-x|^\alpha$ with some $\alpha\in[1,2]$ for the modulus 
 $\varphi$ of $\Phi$ and some fixed $t$ implies that $\Phi$ satisfies 
the H\"older condition of order $\alpha/2$ at $e^{it}$ in a certain integral 
sense. Here we prove an analog of this statement for not necessarily power-type majorants for moduli of 
smoothness: we shall assume that $|\varphi(e^{it})-\varphi(e^{ix})-b(t-x)|\leqslant \omega(|t-x|)$, where $\omega$ satisfies certain regularity 
assumptions. For simplicity, we only consider the case where the function $\Phi$ is outer.


 Key words:     outer function, H\"older conditions.


[Full text:
 Preprint in Russian (.pdf.gz)







Back to all preprints


Back to the Steklov
Institute of Mathematics at St.Petersburg