Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАН

ПРЕПРИНТ 03/2017

УСРЕДНЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

This preprint was accepted May 10, 2017

АННОТАЦИЯ:
 Пусть ${\mathcal O} \subset \R^d$ --- ограниченная область с границей класса $C^{2p}$.
В пространстве $L_2({\mathcal O};\C^n)$  изучается самосопряженный сильно эллиптический оператор $A_{N,\eps}$ порядка $2p$,
заданный выражением $b(\D)^* g(\x/\eps) b(\D)$, $\eps >0$, при условиях Неймана на границе.
Здесь $g(\x)$ --- ограниченная и положительно определенная $(m\times m)$-матрица-функция в $\R^d$, периодическая относительно
некоторой решетки; $b(\D)=\sum_{|\alpha|=p} b_\alpha \D^\alpha$ --- дифференциальный оператор порядка $p$ с постоянными коэффициентами; $b_\alpha$ --- постоянные $(m\times n)$-матрицы. Предполагается, что $m\geqslant n$ и что символ $b({\boldsymbol \xi})$
имеет максимальный ранг при любом $0 \ne {\boldsymbol \xi}\in \C^d$.
Для резольвенты $(A_{N,\eps} - \zeta I)^{-1}$ при $\zeta \in \C \setminus [0,\infty)$
получены аппроксимации по операторной норме в $L_2({\mathcal O};\C^n)$ и по норме операторов, действующих из
$L_2({\mathcal O};\C^n)$ в пространство Соболева $H^p({\mathcal O};\C^n)$, с  оценками погрешности
в зависимости от $\eps$ и $\zeta$.
   
 

T. A. SUSLINA

HOMOGENIZATION OF THE NEUMANN PROBLEM FOR HIGHER-ORDER ELLIPTIC EQUATIONS WITH PERIODIC COEFFICIENTS

ABSTRACT:
   
  Let $\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^d$ be a bounded domain of class $C^{2p}$.
In $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$, we study a selfadjoint strongly elliptic operator $A_{N,\varepsilon}$ of order $2p$ given
by the expression $b(\D)^* g(\x/\eps) b(\D)$, $\eps >0$, with the Neumann boundary conditions.
Here $g(\x)$ is a bounded and positive definite $(m\times m)$-matrix-valued function in $\R^d$, periodic with respect to some lattice;
$b(\D)=\sum_{|\alpha|=p} b_\alpha \D^\alpha$ is a differential operator of order $p$ with constant coefficients; $b_\alpha$ are constant
$(m\times n)$-matrices. It is assumed that $m\geqslant n$ and that the symbol $b({\boldsymbol \xi})$ has maximal rank for any
$0 \ne {\boldsymbol \xi}\in \C^d$.
We find approximations for the resolvent $\left(A_{N,\varepsilon}-\zeta\right)^{-1}$
in the  $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$-operator norm and in the norm of operators acting from $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ to the Sobolev space $H^p(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$, with error estimates depending on $\varepsilon$ and $\zeta$.

 Key words:     periodic differential operators, higher-order elliptic equations, Neumann problem, homogenization, effective operator, corrector, operator error estimates


[Full text:
 Preprint in Russian (.pdf.gz)







Back to all preprints


Back to the Steklov
Institute of Mathematics at St.Petersburg