Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАН

ПРЕПРИНТ 05/2016

УСРЕДНЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

This preprint was accepted August 26, 2016

АННОТАЦИЯ:
       Пусть ${\mathcal O} \subset \R^d$ --- ограниченная область класса $C^{2p}$.
В пространстве $L_2({\mathcal O};\C^n)$  изучается самосопряженный сильно эллиптический оператор $A_{D,\eps}$ порядка $2p$,
$p\geqslant 2$, заданный выражением $b(\D)^* g(\x/\eps) b(\D)$, $\eps >0$, при условиях Дирихле на границе.
Здесь $g(\x)$ --- ограниченная и положительно определенная $(m\times m)$-матрица-функция в $\R^d$, периодическая относительно некоторой решетки; $b(\D)=\sum_{|\alpha|=p} b_\alpha \D^\alpha$ --- дифференциальный оператор порядка $p$ с постоянными коэффициентами; $b_\alpha$ --- постоянные $(m\times n)$-матрицы. Предполагается, что $m\geqslant n$ и что символ $b({\boldsymbol \xi})$
имеет максимальный ранг. Для резольвенты $(A_{D,\eps} - \zeta I)^{-1}$
получены аппроксимации по операторной норме в $L_2({\mathcal O};\C^n)$ и по норме операторов, действующих из
$L_2({\mathcal O};\C^n)$ в пространство Соболева $H^p({\mathcal O};\C^n)$, с  оценками погрешности
в зависимости от $\eps$ и $\zeta$.
   
 

T. A. Suslina

HOMOGENIZATION OF THE DIRECHLET PROBLEM FOR HIGH ORDER ELLIPTIC EQUATIONS WITH PERIODIC COEFFICIENTS

ABSTRACT:
   
     Let ${\mathcal O} \subset \R^d$ be a bounded domain of class $C^{2p}$.
In $L_2({\mathcal O};\C^n)$, we study a selfadjoint strongly elliptic operator $A_{D,\eps}$ of order $2p$,
$p\geqslant 2$, given by the expression $b(\D)^* g(\x/\eps) b(\D)$, $\eps >0$, with the Dirichlet boundary conditions. 
Here $g(\x)$ is a bounded and positive definite $(m\times m)$-matrix-valued function in $\R^d$;
it is assumed that $g(\x)$ is periodic with respect to some lattice.
Next, $b(\D)=\sum_{|\alpha|=p} b_\alpha \D^\alpha$ is a differential operator of order $p$  with constant coefficients;
$b_\alpha$ are constant $(m\times n)$-matrices. It is assumed that $m\geqslant n$ and that the symbol $b({\boldsymbol \xi})$
has maximal rank. For the resolvent $(A_{D,\eps} - \zeta I)^{-1}$
we obtain approximations in the norm of operators in $L_2({\mathcal O};\C^n)$ and in the norm of operators 
acting from $L_2({\mathcal O};\C^n)$ to the Sobolev space $H^p({\mathcal O};\C^n)$, with error estimates depending on
$\eps$ and $\zeta$.

 Key words:      periodic differential operators, high order elliptic equations, 
Dirichlet problem, homogenization, effective operator, corrector, operator error estimates.


[Full text:
 Preprint in Russian (.pdf.gz)







Back to all preprints


Back to the Steklov
Institute of Mathematics at St.Petersburg