Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАН

ПРЕПРИНТ 04/2015

ДВУХПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ ПРИ УСРЕДНЕНИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА В $\mathbb R^d$ C ВКЛЮЧЕНИЕМ МЛАДШИХ ЧЛЕНОВ

This preprint was accepted August 27, 2015

АННОТАЦИЯ:

    В $L_2({\mathbb R}^d;{\mathbb C}^n)$ рассматривается самосопряженный оператор ${\mathcal B}_\varepsilon$,
\hbox{$0< \varepsilon \le 1$}, порожденный дифференциальным выражением
$b({\mathbf D})^* g({\mathbf x}/\varepsilon)b({\mathbf D}) + \sum_{j=1}^d (a_j({\mathbf x}/\varepsilon) D_j
+D_j a_j({\mathbf x}/\varepsilon)^*) + Q({\mathbf x}/\varepsilon)$, где $b({\mathbf D}) = \sum_{l=1}^d b_l D_l$
--- дифференциальный оператор первого порядка, а $g, a_j, Q$ ---
матрицы-функции в ${\mathbb R}^d$, периодические относительно некоторой решетки $\Gamma$.
При этом $g$ ограничена и положительно определена, а коэффициенты $a_j$, $Q$, вообще говоря, неограничены.
Изучается обобщенная резольвента $({\mathcal B}_\varepsilon - \zeta Q_0({\mathbf x}/\varepsilon))^{-1}$, где
$Q_0$ --- $\Gamma$-периодическая, ограниченная и положительно определенная  матрица-функция, а $\zeta$ --- комплексный параметр.
Получены аппроксимации обобщенной резольвенты по $(L_2 \to L_2)$- и $(L_2 \to H^1)$-нормам с двухпараметрическими
оценками погрешности (относительно параметров $\varepsilon$ и $\zeta$).


 
  

Yu. M. Meshkova, T. A. Suslina

TWOPARAMETRIC ERROR ESTIMATES IN HOMOGENIZATION OF SECOND ORDER ELLIPTIC SYSTEMS IN $\mathbb{R}^d$ INCLUDING LOWER ORDER TERMS

ABSTRACT:

  In $L_2({\mathbb R}^d;{\mathbb C}^n)$, we consider a selfadjoint operator ${\mathcal B}_\varepsilon$,
\hbox{$0< \varepsilon \le 1$}, given by the differential expression 
$b({\mathbf D})^* g({\mathbf x}/\varepsilon)b({\mathbf D}) + \sum_{j=1}^d (a_j({\mathbf x}/\varepsilon) D_j
+D_j a_j({\mathbf x}/\varepsilon)^*) + Q({\mathbf x}/\varepsilon)$, where $b({\mathbf D}) = \sum_{l=1}^d b_l D_l$
is the first order differential operator, and $g, a_j, Q$ are matrix-valued functions in ${\mathbb R}^d$
periodic with respect to some lattice $\Gamma$.
It is assumed that $g$ is bounded and positive definite, while $a_j$ and $Q$ are, in general, unbounded.
 We study the generalized resolvent $({\mathcal B}_\varepsilon - \zeta Q_0({\mathbf x}/\varepsilon))^{-1}$, where 
$Q_0$ is a $\Gamma$-periodic, bounded and positive definite matrix-valued function, and $\zeta$ is a complex-valued parameter.
Approximations for the generalized resolvent in the $(L_2 \to L_2)$- and $(L_2 \to H^1)$-norms 
with twoparametric error estimates (with respect to the parameters $\varepsilon$ and $\zeta$) are obtained.