Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А.Стеклова РАН

ПРЕПРИНТ 11/2014

УСРЕДНЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ СПЕКТРАЛЬНОГО ПАРАМЕТРА

This preprint was accepted August, 2014

АННОТАЦИЯ:
Рассматривается сильно эллиптическое дифференциальное выражение вида $b(\D)^* g(\x/\eps) b(\D)$, $\eps >0$,
где $g(\x)$ --- ограниченная и положительно определенная матрица-функция в $\R^d$, периодическая относительно
некоторой решетки; $b(\D)=\sum_{l=1}^d b_l D_l$ --- дифференциальный оператор первого порядка с постоянными коэффициентами. На символ $b({\boldsymbol \xi})$ накладывается условие, обеспечивающее сильную эллиптичность.
В пространстве $L_2(\R^d;\C^n)$ выражение $b(\D)^* g(\x/\eps) b(\D)$ порождает оператор $\A_\eps$.
В пространстве $L_2(\O;\C^n)$, где $\O \subset \R^d$ --- ограниченная область с границей класса $C^{1,1}$,
рассматриваются операторы $\A_{D,\eps}$ и $\A_{N,\eps}$, порожденные этим выражением при условиях Дирихле
или Неймана на границе. Для резольвенты операторов $\A_\eps$, $\A_{D,\eps}$, $\A_{N,\eps}$
в регулярной точке $\zeta$ получены аппроксимации в различных операторных нормах с оценками погрешности
в зависимости от $\eps$ и спектрального параметра $\zeta$.
 

T. A. Suslina

Homogenization of elliptic operators with periodic coefficients in dependence of the spectral parameter

ABSTRACT:
We consider a strongly elliptic differential expression of the form $b(\D)^* g(\x/\eps) b(\D)$, $\eps >0$,
where $g(\x)$ is a matrix-valued function in $\R^d$ assumed to be bounded, positive definite and periodic with respect to some lattice;
$b(\D)=\sum_{l=1}^d b_l D_l$ is the first order differential operator with constant coefficients.
The symbol $b({\boldsymbol \xi})$ is subject to some condition ensuring strong ellipticity.
The operator given by $b(\D)^* g(\x/\eps) b(\D)$  in $L_2(\R^d;\C^n)$ is denoted by $\A_\eps$.
Let $\O \subset \R^d$ be a bounded domain of class $C^{1,1}$.
In $L_2(\O;\C^n)$, we consider the operators $\A_{D,\eps}$ and $\A_{N,\eps}$
given by $b(\D)^* g(\x/\eps) b(\D)$ with the Dirichlet or Neumann boundary conditions, respectively.
For the resolvents of the operators $\A_\eps$, $\A_{D,\eps}$, and $\A_{N,\eps}$ in a regular point
$\zeta$ we find approximations in different operator norms with error estimates depending on $\eps$ and the spectral parameter $\zeta$.
 
Key words: periodic differential operators, Dirichlet problem, Neumann problem, homogenization, effective operator, corrector, operator error estimates


[Full text:
 Preprint in Russian (.pdf.gz)]







Back to all preprints


Back to the Steklov
Institute of Mathematics at St.Petersburg