Steklov Institute of Mathematics at St.Petersburg

PREPRINT 06/2013

ELEMENTS OF NONCOMMUTATIVE GEOMETRY IN INVERSE PROBLEMS ON MANIFOLDS

This preprint was accepted May 22, 2013

ABSTRACT:
We deal with two dynamical systems associated with a Riemannian
manifold with boundary. The first one is a system governed by the
scalar wave equation, the second is governed by the Maxwell
equations. Both of the systems are controlled from the boundary.
The inverse problem is to recover the manifold via the relevant
measurements at the boundary (inverse data).

We show that the inverse data determine a C*-algebras, whose
(topologized) spectra are identical to the manifold. By this, to
recover the manifold is to determine a proper algebra from the
inverse data, find its spectrum, and provide the spectrum with a
Riemannian structure.

The paper develops an algebraic version of the boundary control
method, which is an approach to inverse problems based on their
relations to control theory.
 

М. И. Белишев, М. Н. Демченко

ЭЛЕМЕНТЫ НЕКОММУТАТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ В ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ НА МНОГООБРАЗИЯХ

АННОТАЦИЯ
Рассматриваются две динамические системы на Римановом многообразии
с границей. Эволюция первой системы определяется скалярным
волновым уравнением, второй -- уравнениями Максвелла. Обе системы
управляются с границы. Обратная задача состоит в восстановлении
многообразия по адекватным измерениям на границе (граничным
данным).

Мы показываем, что граничные данные определяют C*-лгебры,
(топологизированные) спектры которых идентичны многообразию. В
силу этого, восстановление многообразия сводится к определению
надлежащей алгебры по граничным данным, нахождению ее спектра и
наделению последнего римановой структурой.

Работа развивает алгебраическую версию метода граничного
управления -- подхода к обратным задачам, основанного на их связях
с теорией управления.