Steklov Institute of Mathematics at St.Petersburg

PREPRINT 05/2013

SMOOTH AND NON-SMOOTH $AF$-ALGEBRAS AND PROBLEM ON INVARIANT MEASURES

This preprint was accepted April 1, 2013

ABSTRACT:
We separate the $AF$-algebras (correspondingly action of the countable groups on Cantor sets)
onto two classes ---- ``completely smooth'' for which the set
of all indecomposable traces (correspondingly list of all invariant ergodic measures) has nice parametrization,
and the second class --- ``completely non-smooth'' for which the set of all traces (correspondingly set
of all invariant measures) is Poulsen simplex and therefore there is no suitable parametrization of indecomposable traces,
(ergodic measures) e.g.Choquet boundary.
 Important example of the first type of $AF$-algebra is group algebra of infinite symmetric group, and of the second type
  --- group algebra of some locally finite solvable group. The questions of recognition of those cases are closely related
 to the orbit theory of dynamical systems and theory of filtrations of sigma-fields in measure spaces and Borel spaces.
 

А. М. Вершик

ГЛАДКИЕ И НЕГЛАДКИЕ $AF$-АЛГЕБРЫ И ЗАДАЧА ОБ ИНВАРИАНТНЫХ МЕРАХ

АННОТАЦИЯ
Мы разделяем $AF$-алгебры (соответственно, действия счетных групп на канторовском множестве) на два класса ---- вполне гладкие, для которых множество всех неразложимых характеров   (соответственно совокупность всех инвариантных эргодических мер) имеет "хорошую" параметризацию, и второй класс --- вполне негладкие--- для которых симплекс всех следов (соответственно
симплекс всех инвариантных мер) есть так назывемый симплекс Poulsen'а, и поэтому не имеет хорошей параметризации неразложимых следов( соответственно, эргодических мер)

Важный пример $AF$-алгебры первого типа --- групповая алгебра  бесконечной симметрической группы, а второго типа ---
  --- групповая алгебра некоторой локально-конечной разрешимой группы. Вопрос о распознавании этих двух случаев тесно связан 
с теорией орбит динамических систем и с теорией фильтраций
сигма-алгебр в борелевском пространстве с мерой.