Steklov Institute of Mathematics at St.Petersburg

PREPRINT 04/2013

FINITE TRACES AND REPRESENTATIONS OF THE GROUP OF INFINITE MATRICES OVER A FINITE FIELD

This preprint was accepted January 29, 2013

ABSTRACT:
The article is devoted to the representation theory of locally compact group $\GLB$ of almost upper-triangular
 infinite matrices over finite field, which we view as an adequate $n=\infty$ analogue of general
 linear groups $\GL{n}$. We describe all semifinite traces (characters) of $\GLB$ which are finite on the
 appropriate subspace $\A(\GLB)$ of smooth functions in $L_1$ on the group.

 We further distinguish a class of unipotent traces and explore their properties, including
  remarkable multiplicativity and connections with conjugation-invariant probability measures on the group of upper-triangular
 matrices over finite field. We construct representations of $\GLB$ corresponding to the wide
 class of indecomposable unipotent traces. Our construction is based on the natural action of
 $\GLB$ in the space of flags in the countable infinite-dimensional vector space and leads to von
 Neumann type $II_\infty$ factor representations.

 We also study and decompose the (bi-)regular representation of $\GLB$. Finally, various connections between
 representation theory of $\GLB$ and representation theory of the infinite-dimensional Iwahori-Hecke algebra $\H(\infty)$ and
 infinite symmetric group $S(\infty)$ (which is the inductive limit of symmetric groups $S(n)$) are explained.

 The main stream of this paper is a continuation and development of the series
 of the previous papers by S.Kerov and A.Vershik of 70-90s on the
 representation theory of finite and infinite symmetric groups. The topics we study
  should be considered, in general, as a part of the so-called asymptotic representation theory.
 

А .М. Вершик, В. Е. Горин, С. В. Керов

КОНЕЧНЫЕ СЛЕДЫ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ БЕСКОНЕЧНЫХ МАТРИЦ НАД КОНЕЧНЫМ ПОЛЕМ

АННОТАЦИЯ
Статья посвящена теории представлений локально компактной
группы
$\GLB$  почти верхне-треугольных бесконечных матриц над
конечным
полем, которая мы рассматриваем как правильный аналог для 
$n=\infty$
общей линейной группы  $\GL{n}$. Мы описываем все
полуконечные следы
(характеры) группы $\GLB$,
которые конечны на некотором подпространстве $\A(\GLB)$
гладких функций
пространства $L_1(\GLB)$.

Мы выделяем класс унипотентных следов и изучаем их
свойства; они
мультипликативны и тесно связаны с инвариантными
относительно
сопряжения вероятностными мерами на группе
верхне-треугольных матриц
над конечным
полем. Строятся представления группы $\GLB$,
соотвествующие широкому
классу унипотентных следов. Наши конструкции основаны на
естественных
действиях группы на протранстве флагов в счетно-мерном
векторном
пространстве и приводят
к фактор-представлениям типа $II_\infty$ по фон Нейманну.

 Рассматриваются также задачи гармонического анализа на
группе $\GLB$,
а также объясняются связи с теорией представлений
бесконечномерной
алгеброй Гекке-Ивахори   $\H(\infty)$ и бесконечной
симметрической
группы  $S(\infty)$.