Санкт-Петербургский государственный университет,
Физический факультет,
Ульяновская ул., д. 3, Петродворец,
Санкт-Петербург, 198504, Россия
suslina@list.ru
This preprint was accepted January 11, 2012
АННОТАЦИЯ:
В пространстве $L_2(\O;\C^n)$, где
$\O \subset \R^d$ --- ограниченная область с границей класса $C^2$,
рассматривается матричный эллиптический дифференциальный оператор $\A_{D,\eps}$ второго порядка
при условии Дирихле на границе. Здесь $\eps>0$ --- малый параметр,
коэффициенты оператора периодичны и зависят от $\x/\eps$.
Получена точная по порядку операторная оценка погрешности
$$\|\A_{D,\eps}^{-1} - (\A_D^0)^{-1} \|_{L_2 \to L_2} \leq C \eps,$$
где $\A^0_D$ --- эффективный оператор с постоянными коэффициентами при условии Дирихле на границе. ©
Ключевые слова:
периодические дифференциальные операторы, усреднение,
эффективный оператор, операторные оценки погрешности
T. A. SUSLINA
HOMOGENIZATION OF THE ELLIPTIC DIRICHLET PROBLEM:
OPERATOR ERRER ESTIMATES IN $L_2$
ABSTRACT:
Let $\mathcal{O} \subset \mathbb{R}^d$ be a bounded domain of class $C^2$.
In the Hilbert space $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$,
we consider a matrix elliptic second order differential operator $\mathcal{A}_{D,\varepsilon}$ with
the Dirichlet boundary condition. Here $\varepsilon>0$ is the small parameter.
The coefficients of the operator are periodic and depend on
$\mathbf{x}/\varepsilon$. A sharp order operator error estimate
$$
\|\mathcal{A}_{D,\varepsilon}^{-1} - (\mathcal{A}_D^0)^{-1} \|_{L_2 \to L_2} \leq C \varepsilon
$$
is obtained. Here $\mathcal{A}^0_D$ is the effective operator with constant coefficients and
with the Dirichlet boundary condition.
Key words: periodic differential operators, homogenization,
effective operator, operator error estimates
[Full text:
Preprint in Russian (.pdf.gz)
Back to all preprints
Back to the Steklov
Institute of Mathematics at St.Petersburg