Steklov Institute of Mathematics at St.Petersburg

PREPRINT 06/2008

RELATIVE SUBGROUPS IN CHEVALLEY GROUPS

ABSTRACT:
We finish the proof of
the main structure theorems for a Chevalley group $G(\Phi,R)$ of
rank $\ge 2$ over an arbitrary commutative ring $R$. Namely, we
prove that for any admissible pair $(A,B)$ in the sense of Abe the
corresponding relative elementary group $E(\Phi,R,A,B)$ and the full
congruence subgroup $C(\Phi,R,A,B)$ are normal in $G(\Phi,R)$
itself, and not just normalised by the elementary group $E(\Phi,R)$
and that $[E(\Phi,R),C(\Phi,R,A,B)]=E(\Phi,R,A,B)$. For the case
$\Phi=\operatorname{F}_4$ these results are new. The proof is new
also for other cases, since we explicitly define $C(\Phi,R,A,B)$ by
congruences in the adjoint representation of $G(\Phi,R)$ and give
several equivalent characteristaions of that group.

Р. Хазрат, В. Петров, Н. Вавилов

Относительные подгруппы в группах Шевалле

АННОТАЦИЯ. Мы завершаем доказательство основных структурных теорем для группы Шевалле
$G(\Phi,R)$ ранга $\ge 2$ над произвольным коммутативным кольцом $R$. 
А именно, мы доказываем, что для любой допустимой пары $(A,B)$ в смысле Абэ,
соответствующая относительная элементарная группа  $E(\Phi,R,A,B)$ и полная 
конгруэнц подгруппа $C(\Phi,R,A,B)$ являются нормальными в самой  $G(\Phi,R)$,
а не нормализуются элементарной группой $E(\Phi,R)$,
и  $[E(\Phi,R),C(\Phi,R,A,B)]=E(\Phi,R,A,B)$. Для случая
$\Phi=\operatorname{F}_4$ эти результаты являются новыми.
Доказательство является новым также в других случаях, так как мы явно определяем 
$C(\Phi,R,A,B)$ сравнениями в сопряженном представлении группы  $G(\Phi,R)$ 
и даем несколько эквивалентных характеризаций этой группы.