Г.А. Серегин
On divergence free drifts.
In the talk, we are going to discuss fine properties of solutions to the heat equation with the divergence free drift which is a bounded in time function taking values in the space of functions with bounded mean oscillations. The problem is motivated by Liouville type theorems for the Navier-Stokes equations. Our approach is based on higher integrability and Harnack's inequality. Some results are almost sharp.

Н.Н.Уральцева
О регулярности решений задач со свободными границами.
В докладе будет дан обзор разработанных в последнее десятилетие методов изучения регулярности для некоторых классов задач со свободными границами. Как и во многих других нелинейных задачах, где возможно возникновение сингулярностей, используется масштабирование, позволяющее сводить анализ локальных свойств решений к изучению глобальных решений, так называемых blow-up пределов. Аналитической основой, обеспюечивающей такое сведение, служат различные формулы монотонности. Blow-up пределы определены во всем пространстве и их описание - важнейший этап исследования. Не менее существенным моментом является непосредственный качественное исследование локальных свойств решений, в определенном смысле близких к некоторым модельным.

А.П.Чугайнова
Автомодельные асимптотики, описывающие распространение нелинейных волн.
Рассматриваются особенности поведения нелинейных волн в упругих средах, в которых длинноволновые возмущения описываются гиперболическими уравнениями, выражающими законы сохранения. Предполагается, что в явлениях более мелкого масштаба существенны дисперсия и диссипация. Наличие дисперсии, проявляющейся в структурах ударных волн в виде колебаний, может приводить к тому, что множество разрывов, которым соответствует решение задачи о структуре разрыва в виде стационарной структуры (бегущей волны) приобретает сложное строение. При этом оказалось, что если при построении решений гиперболических систем уравнений использовать только разрывы со стационарной структурой, то для ряда автомодельных задач решения оказываются неединственными. Число решений зависит от влияния дисперсии внутри структуры и неограниченно растет с ростом этого влияния. В связи с этим возникает вопрос, какие решения реализуются и при каких условиях. С целью получения ответа на этот вопрос были проведены численные эксперименты по решению начально-краевых задач для уравнений, описывающих нелинейные волны в вязко упругой среде с дисперсией. Проведенные исследования позволили сформулировать выводы о реализуемости автомодельных решений, рассматриваемых как асимптотики неавтомодельных решений при больших временах и масштабах. Определены способы указания реализующейся асимптотики в зависимости от деталей постановки начально-краевой неавтомодельной задачи.

Formal power series coefficients of which are smooth functions of some parameters are pseudofunction in our terminology. It is possible to develop some version of differential and integral calculus of pseudofunctions (see [1]). This "calculus" gives the possibility to construct asymptotic expressions for high-frequency waves concentrated in small neighborhood of moving points, curves, surfaces. We shall consider some examples of waves of this kind.
References
[1] Bochner S, Martin W. Several complex variables. Princeton. 1948.
[2] Maslov V.P. Complex method WKB in nonlinear equations. (in Russian). M. Nauka. 1977.
[3] Babich V.M. Quasiphotons and space-tine ray method. Journal of Mathematical. Sciences. Vol.148, No.5. 2008.

Основные и дополнительные граничные условия на разрывах. Требование существования структуры разрывов -- источник получения дополнительных граничных условий. Примеры многопараметрических разрывов: фронт образования нелинейно упругого тела в результате уплотнения первоначально не взаимодействующих частиц среды и ударные волны в деформируемом твердом теле с образованием остаточных деформаций.

Диффузией Арнольда в гамильтоновых системах, близких к интегрируемым, называется существование траекторий, на которых медленные переменные эволюционируют, сдвигаясь от своих начальных значений на величину порядка единицы. Типичность и оценки максимальной скорости диффузии Арнольда получены лишь в упрощенной постановке (для так называемых априори неустойчивых систем) и в самой низкой возможной размерности (2 + 1/2 степеней свободы). Я буду обсуждать диффузию и связанные с ней динамические эффекты в априори неустойчивых системах большей размерности.

I.
В обратных задачах на многообразиях требуется восстановить риманово многообразие с краем по его граничным данным. Вот примеры (в размерности 2) из приложений, мотивирующие такие постановки.
1) (электро-импедансная томография) Имеется тонкая оболочка сложной формы (риманова поверхность с краем), проводящая ток. К ее границе прикладывается потециал, индуцирующий стационарный ток через оболочку. Внешний наблюдатель, оперирующий на границе, имеет возможность варьировать потенциал и всякий раз измерять ток, текущий через границу. Эти измерения формализуются заданием оператора, переводящего граничные "данные Дирихле", связанные с эллиптической задачей на поверхности, в соответствующие "данные Неймана" ("ДН-оператор"). Этот оператор определяется оболочкой: ее формой, проводимостью и тп. Предположим, что оболочка недоступна (невидима) для наблюдателя и, зондируя ее токами с границы, он пытается определить ее форму и параметры. Иными словами, ставится ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА: "В какой мере ДН-оператор определяет оболочку и, если определяет, как ее восстановить?".
2) (акустическая томография) Пусть оболочка (мембрана) выполнена из упругого материала и смещение точек ее границы приводит к появлению волны, распространяющейся по оболочке с конечной скоростью. Ее эволюция описывается волновым уравнением. Волна рассеивается на неоднородностях, появляются вторичные (отраженные) волны, возвращающиеся к границе и взаимодействующие с последней. Возникающие при взаимодействии усилия регистрируются внешним наблюдателем. Измерения формализуются заданием "оператора реакции", переводящего смещения границы (функции точки границы и времени) в силы на границе (функции тех же переменных).

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА состоит в восстановлении оболочки по оператору реакции. Принципиальное отличие подобных постановок от традиционных "коэффициентных" обратных задач состоит в следующем. В последних носитель (область или многообразие) подлежащих определению коэффициентов предполагается известным: есть возможность фиксировать ТОЧКУ носителя и обсуждать, как восстановить в ней искомую функцию (проводимость оболочки, ее плотность и тп). В постановках же типа 1) и 2) подлежит определению САМ НОСИТЕЛЬ! В ситуации, когда внутренность оболочки для наблюдателя недостижима, единственно адекватное понимание задачи "восстановить оболочку" таково: требуется построить риманово многообразие, имеющее предписанные граничные данные (ДН-оператор, оператор реакции и тп). Такое многообразие явилось бы копией оболочки, реагирующей на внешние воздействия так же, как и сама оболочка и, в этом смысле, неотличимой от оригинала. В этой связи возникает наивный вопрос: из какого "материала" внешний наблюдатель может построить такую копию?

II.
По Гельфанду, любая равномерная коммутативная банахова алгебра (нормированное кольцо) изометрически изоморфна функциональной алгебре на хаусдорфовом компакте. При этом имеется каноническая реализация, в которой элементы алгебры переводятся (преобразованием Гельфанда) в функции на ее СПЕКТРЕ - множестве максимальных идеалов, снабженном адекватной топологией. Тем самым, абстрактно заданная алгебра каноническим образом определяет геометрический объект (компакт), т.е. ПРОДУЦИРУЕТ ТОЧКИ.

III.
Описанный выше механизм (геометризацию) мы используем для решения обратных задач: требуемые в них компакты (точки) ПОСТАВЛЯЮТСЯ АЛГЕБРАМИ. Именно, задачи
1) и 2) решаются по общей схеме:
(*) устанавливается, что оболочка гомеоморфна спектру адекватной алгебры (в первом случае - функциональной, во втором - операторной), которая определяется данными обратной задачи с точностью до изометрии
(**) по данным задачи (ДН-оператору или оператору реакции соответственно) внешний наблюдатель конструирует изометрическую копию вышеупомянутой алгебры и находит ее СПЕКТР. В этот момент он получает хаусдорфов компакт, по построению являющийся ГОМЕОМОРФНОЙ КОПИЕЙ ОБОЛОЧКИ
(***) дополнительная техническая работа позволяет снабдить спектр всеми аттрибутами риманова многобразия: гладкой структурой, метрикой и тд. В итоге получаем многообразие ("виртуальную оболочку"), являющееся изометрической копией невидимой оболочки. Эта копия по построению имеет те же граничные данные, что и оригинал; поэтому для внешнего наблюдателя она и оригинал неразличимы. В этом смысле копия и решает поставленные задачи.

1. M.I.Belishev. Geometrization of Rings as a Method for Solving Inverse Problems. Sobolev Spaces in Mathematics III. Applications in Mathematical Physics, Ed. V.Isakov. Springer, 2008, 5--24.
2. M.I.Belishev. A unitary invariant of semibounded operator and its application to inverse problems. arXiv:1004.1646v1 [math FA] 9 Apr 2010.

Т. Шилкин
"О граничной регулярности слабых решений системы уравнений магнитной гидродинамики"
Абстракт: В докладе обсуждается локальная регулярность подходящих слабых решений системы уравнений магнитной гидродинамики вблизи плоского участка границы области, ограниченной идеальным проводником. Установлено достаточное условие локальной регулярности решений, гарантирующее непрерывность по Гельдеру поля скоростей и магнитного поля в окрестности граничных точек. Из установленного результата вытекает, что 1-мерная параболическая хаусдорфова мера множества точек границы, в которых решение может иметь особенности, равна нулю.