\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{latexsym,amssymb,amsthm}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{wrapfig}
\RequirePackage[pdftex]{graphicx}
%%\usepackage{array}

\usepackage{epsf,epic,eepic}
% \input ris.tex
% \input cells.sty
% \addrisoption{\risleftfalse}

\DeclareRobustCommand{\No}{\ifmmode{\nfss@text{\textnumero}}\else\textnumero\fi}

\oddsidemargin=0pt
\textwidth=159mm
\headheight=0pt
\headsep=0pt
\topmargin=0pt
\textheight=240mm

%%
%% Три точки для обозначения делимости
%%
\catcode`\@=11
\def\kratno{\mathrel{\smash{\lower.5ex\hbox{$\,\vdots\,$}}}}
% Это прямые три точки для обозначения делимости
\def\nekratno{\mathrel{\mathpalette\c@ncel\kratno}}
\def\c@ncel#1#2{\m@th\ooalign{$\hfil#1\mkern1mu/\hfil$\crcr$#1#2$}}
% Это перечеркнутые три точки для обозначения неделимости
\def\divis{\smash{\lower.1ex\hbox{\,\hbox{.}\kern-.22em\lower-.6ex\hbox{.}
\kern-.52em\lower-1.2ex\hbox{.}\,}} }
% А это наклонные...

\hyphenation{чис-ло чис-ла чис-лу чис-лом чис-ле чис-лам чис-ла-ми чис-лах
че-ты-рех-уголь-ник че-ты-рех-уголь-ни-ка пря-мо-уголь-ник тре-уголь-ни-ка
тре-уголь-ни-ков вне-впи-сан-ной вне-впи-сан-ных}

\sloppy
\pagestyle{empty}

\def\q#1.{{\bf #1. }}
\def\dotline{\smallskip\hbox to \hsize{\dotfill}\medskip}

\newbox\kk

\begin{document}

\centerline{\sc САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ}
\centerline{\sc ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ 2026 года ПО МАТЕМАТИКЕ}
\centerline{\sc II тур. \ 9 класс.}
\medskip
\hrule
\bigskip

\q1. Окружность $\omega$, построенная на боковой стороне $AB$ равнобедренного треугольника $ABC$ как на диаметре, пересекает боковую сторону $BC$ повторно в точке~$D$. Докажите, что серединный перпендикуляр к~отрезку $CD$ касается окружности~$\omega$.

\q2.  Положительные числа $a_1$, $a_2$, \dots, $a_{100}$ таковы, что
$$
a_1\cdot (a_2^2+1)=a_2\cdot (a_3^2+1)=a_3\cdot (a_4^2+1)=\ldots=a_{100}\cdot (a_1^2+1).
$$
Какое наибольшее количество различных чисел может быть среди них?

\q3. За круглым столом сидят $n$ детей, а на столе стоит коробка, полная
конфет <<Белочка>>. Вначале каждый из детей берёт из коробки не менее одной и~не более $n$~конфет. После этого каждый одну свою конфету-белочку ос\-тав\-ляет себе, а остальные взятые из коробки конфеты раздаёт по одной
следующим после него по часовой стрелке детям.  Сколько у детей есть
способов взять конфеты, чтобы в результате у всех оказалось поровну
конфет? (Два способа считаются различными, если хотя бы один ребёнок берёт
в этих  способах разное число конфет.) 

\q4. Пусть $a$ и $b>1$ --- натуральные числа, $a+b=2029$. Из числа $100\cdot 2026^2$ вычитают его остаток при делении на~$a$, из полученного числа вычитают его остаток при делении на $b$, из результата вычитают его остаток при делении на 2026. Затем снова вычитают остаток при делении на $a$ и т.\,д. по циклу. 
После какого наименьшего количества вычитаний могло получиться число 0?

\dotline

\centerline{Олимпиада 2026 года. II тур. 9 класс. Выводная аудитория.}
\smallskip

\q5. Лягушка покрасила точки координатной прямой в~два цвета. Кузнечик, увидев раскраску, записал на бумажке рациональное число $a>0$, положил бумажку в~конверт и отдал лягушке. Лягушка отвернулась, и~кузнечик стал прыгать по числовой прямой, начиная с точки~$0$: 
$$
0\to a\to 2a\to 3a\to 4a\to \dots
$$
После каждого прыжка кузнечик сообщает лягушке цвет точки, в которой он приземлился. Могла ли лягушка придумать такую раскраску, чтобы в какой-нибудь момент она смогла бы угадать число $a$ (и убедиться в своей правоте, вскрыв конверт)? 

\q6. Окружность с центром в точке $I$ вписана в треугольник $ABC$ и~касается его стороны $BC$ в точке $A_1$. Вневписанная окружность треугольника $ABC$ с центром в точке $J$ касается стороны $BC$ в точке $A_2$. Описанные окружности трегольников $AIA_1$и $AJA_2$ повторно пересекают описанную окружность треугольника $ABC$ в точках $X$ и $Y$. Докажите, что $BC \parallel XY$.

\q7. В Средиземье проживают эльфы, гномы и хоббиты. При этом имеется $a_1$ способов выбрать знакомых друг с другом эльфа и гнома, $a_2$ способов выбрать знакомых эльфа и хоббита, и $a_3$ способов выбрать знакомых гнома и хоббита. Докажите, что количество способов выбрать попарно друг с другом знакомых эльфа, гнома и хоббита не превосходит $\sqrt{a_1a_2a_3}$.


\clearpage

\centerline{\sc САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ}
\centerline{\sc ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ 2026 года ПО МАТЕМАТИКЕ}
\centerline{\sc II тур. \ 10 класс.}
\medskip
\hrule
\medskip

\q1. Дан квадрат со стороной 1. При каком наибольшем $a$ верно, что для любых двух точек $P$ и $Q$ на периметре квадрата, для которых ${PQ<a}$, найдётся равносторонний треугольник $PQR$, где точка $R$ расположена внутри квад\-рата? 

\q2. Назовём уравнение \emph{арифметическим}, если оно имеет ровно 4~решения, образующих арифметическую прогрессию. Квадратный \hbox{трёхчлен} $f(x)$ таков, что уравнение 
$$f\bigl(f(x)\bigr)=f\bigl(8f(x)\bigr)$$
--- арифметическое. Докажите, что хотя бы одно из уравнений 
$$
f\bigl(f(x)\bigr)=f\bigl(-82f(x)\bigr) \quad\text{или}\quad f\bigl(f(x)\bigr)=f\bigl(-2f(x)\bigr)
$$
тоже арифметическое.

\q3. За круглым столом сидят $n$ детей, а на столе стоит коробка, полная конфет <<Белочка>>. Вначале каждый из детей берёт из коробки не менее одной и~не более $n$ конфет. После этого каждый одну свою конфету-белочку оставляет себе, а остальные взятые из коробки конфеты раздаёт по одной следующим после него по часовой стрелке детям. Сколько у детей есть способов взять конфеты, чтобы в результате у всех оказалось поровну конфет?
(Два способа считаются различными, если хотя бы один ребёнок берёт в этих способах разное число конфет.)

\q4. Число $x$ представлено как чисто периодическая десятичная дробь с
наименьшим периодом длины $A$. То же число $x$, записанное как
двоичная дробь, имеет наименьший период длины $B$, а как пятеричная --- длины $C$.
Докажите, что
$$
\bigl(\text{НОК}(A, B, C)\bigr)^2 \cdot\text{НОД}(A, B, C)=ABC.
$$

\dotline

\centerline{Олимпиада 2026 года. II тур. 10 класс. Выводная аудитория.}
\smallskip

\q5. На медиане $AD$ треугольника $ABC$ отмечена точка $E$, а на продолжении стороны $AC$ за точку $C$ --- точка $F$, причем $\angle ABF=90^\circ$ и~$\angle DEF=\angle CBF$. Докажите, что $ED$ --- биссектриса угла $BEF$. 

\q6. Карабас разложил на половине полей доски $20\times 20$ по одной монете. Лиса $\mathcal A$ и кот $\mathcal B$ сидят рядом, у $\mathcal A$ завязаны глаза. За один ход $\mathcal A$ называет номер строки, затем $\mathcal B$ называет поле в этой строке. Если там лежит монета, Карабас тут же вручает ее $\mathcal A$ и $\mathcal B$ в качестве выигрыша, а~если нет --- забирает все выигранные ими к~этому моменту монеты. $\mathcal A$~и~$\mathcal B$ выполняют ходы, пока доска не опустеет. $\mathcal B$~не имеет права называть одно и то же поле два раза (но~$\mathcal A$~может называть одну и ту же строку несколько раз). $\mathcal A$~и~$\mathcal B$ знали эти правила и~могли заранее договориться о своих действиях. Каков их максимально возможный гарантированный выигрыш?

\q7. Верно ли, что для любого натурального $N$ найдутся натуральные числа $a$, $b$ такие, что 
$$
\text{НОД}(a^4+15,b^4+15)>(a-b)^4>N?
$$


\clearpage

\centerline{\sc САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ}
\centerline{\sc ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ 2026 года ПО МАТЕМАТИКЕ}
\centerline{\sc II тур. \ 11 класс.}
\medskip
\hrule
\bigskip

\q1. Набор клеток на прямоугольной доске назовем \emph{гистограммой}, если вместе с любой клеткой в нем содержатся все клетки того же столбца, лежащие ниже нее. Докажите, что если в гистограмме количества клеток в любых двух соседних столбцах либо равны, либо отличаются в~12~раз, а~общее количество всех клеток гистограммы делится на~11, то эту гистограмму можно разрезать на прямоугольники $1\times 11$ (прямоугольники можно поворачивать).

\q2. Известно, что $x\cdot 2^y = y\cdot 2^x = 1$. Докажите, что $x=y$.

\q3. На доске выписаны слева направо последние ненулевые цифры чисел $1^1$, $2^2$, $3^3$, \dots\ \ Докажите, что эта последовательность не является периодической ни с какого места.

\q4. В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ на сторонах $AD$ и $CD$ выбраны точки $P$ и $Q$, причем $\angle A = \angle C = \frac12 \angle PBQ$. На сторонах $AB$ и $BC$ выбраны точки $X$ и $Y$ так, что ${DX\parallel BQ}$ и ${DY\parallel BP}$. Докажите, что если четырёхугольник $APQC$ вписанный, то и четырёхугольник $AXYC$ вписанный.

\dotline

\centerline{Олимпиада 2026 года. II тур. 11 класс. Выводная аудитория.}
\smallskip

\q5. Дано $n$-элементное множество $X$, где $n>1$. Набор его подмножеств называется \emph{порождающим}, если с помощью пересечений и объединений из них можно получить любое подмножество множества $X$. На доске написаны два множества: $\varnothing$ и $X$. Два игрока по очереди выписывают на доску подмножества множества $X$ (все множества на доске должны быть различными). Игрок, после хода которого подмножества на доске образуют порождающий набор, выигрывает. Кто выиграет при правильной игре: начинающий или его соперник?

\q6. На плоскости проведено $n>1$ прямых общего положения, разделяющих плоскость на несколько областей (некоторые из них неограниченны). Каждая из этих прямых разбита остальными прямыми на $n$~промежутков (отрезков и лучей). Докажите, что на всех таких промежутках можно расставить числа из множества $\{-1,-2,-3,1,2,3\}$ так, чтобы сумма чисел на границе любой области была равна нулю.

\q7. Верно ли, что для любого натурального $N$ найдутся натуральные числа $a$ и $b$ такие, что $$\text{НОД}(a^4+15,b^4+15)>(a-b)^5>N?$$


\end{document}
